COMPLÉMENTS D'ALGÈBRE
Nous retrouvons ainsi ce qui a été expliqué dans les Ék'ments d'Algèbre (page 314 et suivantes).
il9« Corollaire I. — Pour que le trinôme du second degré puisse devenir nul, il faut, quand a>>0, que le minimum — j- — soit négatif ou mil, donc on doit avoir
Aac — fc* ^ ou b^ — iac ^ 0.
Et quand a < 0, il faut que le maximum — j soit positif on
nul, doBÊ on doit avoir encore b* — 4ac^0.
C*ealbi condition de réalité des racines de l'équation
ox" -h frx -f- c = 0.
tiS. Corollaire II. — Si b^ — 4ac>0, la fonction décroit de 4- 00 à un minimum négatif pour croître ensuite jusqu'à -h oo, elle passe donc deux fois par zéro, et change deux fois de signe. Soient x' et af les racines de Téquation :
jo Pour toute valeur de œ inférieure à la plus petite racine, le trinôme prend le signe de son premier terme ax', et par suite le signe de a.
2* Quand x varie de x' à a:", le trinôme prend le signe contraire à celui de a.
Z^ Pour toute valeur de x supérieure à la plus grande racine, le trinôme prend de nouveau le signe de a.
119. CoROLUiKE III. — Si b* — Aac = 0, le trinôme conserve constamment le signe de a et, pour x=^ — ^» il prend la valeur 0, qui en est le maximum ou le minimum.
ito. Corollaire IV. — Si i* — 4ac<;0, le trinôme conserve constamment le signe de a sans jamais s'annuler.
Iti. Théorème XIII. — Si on donne à x deux valeurs équidismtes de — tç-» c'est-à-dire de la / la fonction prend des valeurs égales.
tantes de — ^r-* cest-à-dire de la forme — ^ h et — tt- -f- h,
YARUTION DES FONCTIONS* En effet la fonction peut s'écrire
Pour
et pour
/ , fc c\ r/ *V *ac — bn
Ces deux valeurs de y sont bien égales, quel que soit h.
t%%, RepréscnUitloii géométrique des Tarlatloiis du trlnôafie ém McoBd degré. — Traçons deux axes rectangulaires X'OX, Y'OY, et portons à partir de sur X'X, dans le sens indiqué par son signe,
une longueur égale à — 5-» soit 01, puis à partir de I, sur la parallèle
à OY, une longueur égale à la valeur absolue de — ^ . dans le
sens OY ou dans le sens OY', suivant que ce nombre est positif ou négatif.
Quand a^O, suivant que fc* — Aac est positif, nul ou négatif, la courbe présente les dispositions des figures 14, 15 et 16. Il
X^ P' IM P iX
Fig. 15.
résulte du dernier théorème (n« iti) que cette courbe a pour axe de symétrie la ligne IZ. Car, en prenant IP' = IP pour x = l?' et :c=z IP, on a des valeurs égales de y, NT' =:NP.
GOVPLÉVENTS D'ALGÈBRE.
Et quand a < 0, la courbe présente la disposition des figures i 7, 1 8 ci 19, c*est-à-dirc que la concavité, tournée dans le sens des y positifs
JTô
quand a > 0, est tournée dans le sens des y négatifs quand a < 0.
IM. Théorème XIV. — La courbe figurative d'une fonction du second degré ax» + ax -4- c est une parabole dont taxe est la droite
MZ, et le paramètre est égal au nombre —
En eflct, considérons l'une quelconque dès figures précédentes, par exemple la figure 14; une propriété caractéristique de la parabole, c'est que, si d'un point quelconque N on abaisse sur l'axe MZ
la perpendiculaire NH, le rapport jrn- est constant et égal au double
du paramèlro.
Or, pour le point N, on a
^r=OP = OI-|-IP = — ïf--hNH 2a
donc
D*ailleurs
MII = IH-hIM = i/-hIM; Aac — b^
or
