Z^ INTERVALLE

ar<0

X = — fi

y croît

i/<Ocroll

i/<Oeroîl

i/>Ocroh

y>Ocroit

Représentation graphique. — La courbe qui représente la fonction (fig. 56) se compose des trois branches AB, CGD, EKF, qui ont pour

asymptotes les trois droites : I/L parallèle à X'X à la distance 01 = ^»

Taxe Y'OY et sa parallèle Z'Z menée à la distance 0H=:-» les deux

arcs CD et EF coupant X'X aux points G et K dont les abscisses sont égales

Remarque. — Si on se reporte à Texpression générale de la dérivée (IS4), on voit qu*en changeant seulement les signes de b et b\ c'est-à-dire des coefficients de x dans chacun des termes de y^ le coefficient de x* au numérateur de y\ c'est- FiK. 3(». à-dire ab' — ba\ change

de signe ainsi que le terme constant; par suite la nouvelle fonction

8j:'-|-6x-hl

12x*-hi^

est constamment décroissante: on Tétudierait absolument comme la précédente.

IS9. Exemple II. — Fraction réductible. — Soit la fraction

^ 2 x' — bx-j^ 5 Si on prend immédiatement la dérivée, on a

, (Or— \) (2.r« — 5x-|- 5) ^ (ix — b) (^x' — ^x-^ 1)

— Ix'-^Ux — l __ 7(j— 1)« ~" i^jM — 5^-+-3)« "" (2x* — 5x-h5)*

On voit que, le numérateur de y' ne changeant pas de signe, la

VARIATION DES FONCTIONS. 105

dérivée reste constamment négative. Mais, comme le numérateur est un carré, c'est le cas où B* — AC = et la fonction donnée peut se réduire.

Si on égale à zéro chacun des termes de y, le numérateur a pour

racines = et 1, et les racines du dénominateur sont 1 et ^• o 2

La fonction peut donc être écrite sous la forme

K-î)(— ) ±zî)

en divisant ses deux termes par le facteur commun x — J . L'équation entre y et x étant rendue entière est

elle se décompose en deux équations :

i» X — 1=0 ou x=\;