TITT parallèle à X'X et la

droite Z'Z parallèle à OY (fig. 57).

11 faut adjoindre à cette courbe la droite M'M dont tous les points satisfont à Téquation a: = 1 , qui est comprise dans réquation donnée.

Poura:=l onay= — 2, cette droite M'M coupe donc rhyperbole en un point P.

^3^— ^^quinediflfere

BJZ' Fig. 37.

Remarque. — Si on prend la fraction -J--

VARIATION DES FONCTIONS

de la précédente que par les signes des coefficients de a:, les deux termes sont divisibles par a:+ 1 et la fraction simplifiée se réduit à

rr 5> qui est constamment croissante.

IM. .Exemple III. — Fraction dlseontinae mjmnt on maxlmiuii et u minimmii. — Soit la fraction

Le numérateur ne s annule pour aucune valeur réelle de x et le dénominateur devient nul et change de signe pour xz= — 3eta: = i; la fraction devient alors infinie. Et quand x croit indéfiniment en valeur absolue, la fraction tend vers 1 .

Les intervalles où la fonction reste continue sont donc

1» de — 00 à —5: 2« de — 3 à 1; Cherchons maintenant la dérivée

3<> de 1 à -4- 00 .

^ 2(.r — i)(a:»-h23: — 3) — 2(3: + l)(j?»— 2a:-|-3) ^^ (x^^ix — Zy

Ax{x — Z) '"(x«H-2x— 3)*'

Cette dérivée change de signe et s*annule pour x=^Oeix = o. De là résultent pour la fonction les variations suivantes :

X= — oo

\im.y = i

y croît.

y=+oo

y=—oo y croît.

y=—imi.

y décroît.

y = -hoc y décroît.

y croit, îim.t^^i

Dans le 4«' et le 5« intervalles la fonction y reste positive, dans le 2« intervalle elle est négative.

Représentation géométrique. — A ces trois inlenalles correspondent les trois branches de courbe AB, CND, EMF, qui onf pour asymptotes

les trois droites L'IL parallèle à X'X à la distance 01 = i , Z'HZetV'KVparallèlesàY'Y, Tune à la distance OH = — 5, Tautre à la dislance OK = 1 .

Le maximum est représenté par ON — i, et le minimum par PM = \ correspondant à x=0? = ^ (Cig. 38). En ces points H et N la tangente est parallèle à X'X.

La branche de courbe EMF coupe Tasymptote L'L au point G, qui s*obtient en cherchant pour quelle valeur de X la.fraction devient égale à 1; cette valeur est:ri= J=OJ.

présente une discus-

Uemarque. — La fraction y =

sion analogue : elle ne diffère de la précédente que par le changement de X en — x; le minimum correspond donc à x^= — 3 et le maximum k x=0.

iS9. Exemple IV. — Fraction dlacontlnoe mjmmt aenlemeiit iiii

— Étudions la fraction

Cette fraction devient nulle pour x = — - et x=\ et devient infinie pour

lille change de signe en passant soit par zéro, soit par Tinfini, ot, quand x augmente indéfiniment en valeur absolue, elle tend vers I.

VARIATION DES FONCTIONS

Prenons la dérivée

, (4jr-^l)(2.r*-^.r— 6) — (4j— i)(2j:^— .r— i) — .5(4^ — 1)

Dans le numérateur de y' le coefficient de jr' s*est réduit à zéro; on sait que dans ce cas l'une des racines devient infinie.

La dérivée, positive tant que x < i» devient négative quand a; > {; la fonction passe donc par un maximum pour x = \, mais le minimum disparait et devient la limite vers laquelle tend la frac^ tion quand la variable x augmente indéfiniment dans le sens positif ou négatif. Les intervalles où la fonction reste continue sont

1<» de — » à

2» de — ^' à 2;

.V de 2 à := 3c

lim.î/r^ 1 y croit.

y <0 croît

»/>Ocroîl

y>Odécroîi

//<!0(lécroli

// décroît lim. y= 1

Représe.ntatiox géométrique. — La fonction est représentée par les tixiis branches de courbe AB, CMD, EF, qui ont pour asymptotes les droites L'IL, Z'HZ, V'KV. La branche CMD coupe X'X aux points P et Q, tels que OP = — f OQ = 1 (ûg. 59).

Rbvarque. — Si on étudie la fractions-; — ;;» elle présente

un minimum correspondant à x = ^ et c'est le

maximum qui correspond à une valeur infinie de X.

i40. Exemple Y. — Fraettoa mjwkmt «n

IMurffAlt. Maximiim !■llBl et miiilmuB

— Soit

'3(ar — i)«

Le dénominateur ayant

ses racines égales, les

deux asymptotes sont confondues en une seule, la fonction ne change

pas de signe en passant par l'infini, elle est continue dans les deux

intervalles :

Elle s'annule pour a: = et ^ == j, et tend vers | quand la valeur absolue de x augmente indéfiniment.

Prenons la dérivée

y— d(x—iy

{AT—{){x — \) — %x(ix~i)

La dérivée change de signe en passant par zéro quand x devient égal à I et aussi en passant par l'infini quand x devient égal ù i .

VARIATION DES FONCTIONS

i^ I!«TERVALLE

ar = — oo

limite y = f

y décroît

y croit

y croît

y = -hoo