INTERVALLE
ar>l
y = + oo y décroit limite y =
La fonction a seulement un minimum fmi, mais quand x atteint et dépasse la valeur 1, la dérivée passe du positif au néga- y tîf, la fonction de croissante devient décroissante, on peut dire qu'elle passe par un maximum ; mais ce maximum est infmi.
REPRÉSENTATIOIt GRAPHIQUE. —
La fonction est représentée par les deux branches de courbe ANB et CD, qui ont pour asymptotes les droites L'L parallèle à X'X à la distance 01 = |, et HZ parallèle à OY à la distance 1 ; celle-ci est une asymptote double, les deux branches NB et DC s'en rapprochent simultanément en s'élevant lune et l'autre indéfiniment
dans le sens des y positifs.
Fig. 40.
Remarque. — La fraction y =
présente une discussion ana-
\ et cori*es-
110 COMPLÉMEMS DALGÈDRE.
logue, seulement c'est le maximum qui est fini (il vaut pond à x=2); et quand x passe par zéro, la fraction cesse de décroître pour croître, le minimum par lequel elle passe est infini et négatir. Le lecteur tracera la courbe facilement.
141. Exemple VI. — Fraction ayant scolcsineat an nazlmaon iallnl. — Bénomtnatear carré parlait. — Soit
g.r^ — Ax -I- 5
Cette fonction ne s annule pas, reste toujours positive et devient infinie sans changer de signe pourâ:=i. Elle tend vers | quand la valeur absolue de x croît indéfiniment. — Prenons la dérivée
i{x — iy
On voit que quand x croît de — oo à 1 la dérivée est positive, la fraction y croît donc de f à -f-oo ; et quand x croît de 1 à -+-oe , y' devenant négative, y décroît de -l-oo à |.
Représentation graphique. — La courbe se compose des deux
branches AB, CD (i\g. 4!) qui ont pour asymptotes L'L et HZ, celle-ci est une asymptote double. Les valeurs de x qui annulent la dérivée sont infinies, on peut donc dire que
i ZlTlr::!:^ le minimum de la fonction
est remplacé par la valeur
— ^ limite | vers laquelle tend y
quand x croît indéfiniment.
i4t. Exemple VII. — Fraction donc le dénomlDatenr est du premier de^ré, maximum et mlnlmam. — Dans les exemples précédents, le dénominateur est du 2« degré, le numérateur peut s'abaisser au premier degi^é et même au degré zéro. Étudions maintenant une fraction dont le dénominateur est seulement du premier degré, mais le numérateur du second degré (sinon on rentrerait dans le cas d'une fraction rationnelle du 1" degré n*» i3i).
VARIATION DES FONCTIONS
Soit
Cette fraction devient infinie et discontinue pour une seule valeur de Xy x=^, et sa valeur absolue croît indéfiniment en même temps que celle de x. — La dérivée
,2^(3? — i)— a:> — 5 3:^ — 2x — 5(.rH-i)(x~~5)
(x-iy
elle s*annule et change de signe poura:= — leta:=:3. La fonction présente les deux intei*valles suivants :
— oo x<—\
y croit
y = — 2 maxiDam
y décroît
2<î INTERVALLE
y décroît y = 6 minimum y croît y = -|-oo
Représentation graphique. — On facilite le tracé de la courbe en transformant la fraction : si on effectue la division indiquée, le quotient de a:* -h 3 par x — i est a: -h 1 et le reste 4 ; on peut donc écrire y de la manière suivante :
et en posant
y^ = x-hi et 2-
il en résulte
La fonction yi = x -h \ est représentée par la droite L'L, comme nous Tavons expliqué (n« fi*), droite qui coupe OX' au point E, tel que OE = — 1, el
coupe OY au point F, tel que OF = 1 ; cette droite est une asymptote, car la quantité 2, négative ou positive suivant que 2: <C i ou a:>>l, tend vers zéro quand la valeur absolue de x augmente indéfiniment. L'autre asymptote est Z'Z.
La courbe est une hyperbole (fig. 42) dont les deux branches sont AMB et CND.
i4t. Exemple YUI. — Fractioa doat le déaomlDAtear est du premier degré et qui ae présente d1 mAxlmain wA ndalmmn. —
Une fraction de la forme précédente n*a ni maximum ni minimum si les racines de sa dérivée sont imaginaires.
So dont la dérivée est
2^(jr — 1) — a:»-4-2 __ j:» — 2x4- 2
(x-if
le numérateur ayant ses racines imaginaires reste constamment positif ainsi que le dénominateur, donc la fraction y est constamment croissante.
X croissant de — oo X croissant de 1
REPRÉSENTATIOrV GRAPHIQUE.
i , y croît de — 00 à -t- oc .
- 3c , y croît encore de — 00 à -f- 00 .
En effectuant la division, on ramène la fraction à la forme
qui montre que les droites L'L et Z'Z sont encore asymptotes de la courbe, mais les deux branches de celle-ci sont situées dans les angles L'IZ et Z'IL. C'est encore une hyperbole. Pour la déterminer avec précision, on en construit plusieurs points, tels que G et K, où la courbe coupe X'X; on a alors y = 0, donc 0G= — \/5 et 0K = -f-\/2. Le point P où la courbe coupe OY s'obtient en faisant a:=0, ce qui donne y =2 (fig. 43).
VARIATION DES FOXCTIOS.
144. Exemple IX. — Fonetioa Unie et coDtlaae pour tonle iralevr de X et présentant un mnxlnmm et an mlninram. — r
Soit
Quand les racines du dénominateur sont imaginaires comme dans l'exemple actuel, la fraction reste finie pour toute valeur de x; dans cet exemple le numérateur ne s*annule pas non plus, la fraction reste constamment positive, et tend vers 1 quand la valeur absolue de x croît indéfiniment.
La dérivée
(2.rH-5)(x«-hl) — 2.r(a:'-f-53:-4-5) — 5^:' — 8jr-4-5
[x^ + if
elle s'annule pour
x = — 3 et x = ^y
I.«8 variations de la fonction sont donc comprises dans le tableau unique qui suit :
limy = l y décroît
y = -^minimum
y croît
!/ = 5 -h ^ maximum
y décroît
limy= 1
Rbprésentàtio!; graphique. — La fonction est représentée par Tare de courbe unique ÂNMB, ayant pour asymptote L'L; aux points N
LAUXAY. — COMPI.. D Al.G.
et M, la tangente est parallèle à X'X (fig. 44). La courbe coupe son
asymptote au point E, dont Tabscisse est
— =. et l'axe OY au
point F. dont Tordonnée vaut 5.
145. Exemple X. — FoDctIoB Haie et coatiDiie quel q«c •oit .r. — La fonction y = , ^^ conduit à une discussion analogue, puisqu'elle .r* .r -H 1 j^^gj^ ^j^l^ p^^ l^^y^g valeur de x ;
seulement elle passe d'abord par un maximum, puis par un minimum; la dérivée est
La fonction s'annulepoura;=0, et elle tend vers zéro quand la valeur absolue de x croit indéfiniment; l'axe X'X est donc l'asymptote.
Les variations se succèdent ainsi :
\\my = y croît
y = \ maximum
y décroît
y = — 5 minimum
y croît lim y =
Elles sont représentées par la figure 45.
i4ll« Exemple XL — ■■ FoDetloD constaminent finie, n'ayant qu*ii
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VAUIATIOX DES FONCTIONS.
Soit
nx(a — x) F* — ax-^a
Cette fonction reste encore finie et continue pour toute valeur finie de x, elle s*annule pour x = et :r = a, et a pour limite — a quand la valeur absolue de x croît indéfiniment, la lettre a désignant une longueur positive.
La dérivée est
, (— 2ax -h g») {x^ — ax-h g') — a{2x — a) {a— x)x
^ "" (x' — ax -f- a*)*
ou
' (x^ — ax-h a')*
Cette dérivée ne s*annule et ne change de signe que pour r:
o: = rw on a donc les variations z
de grandeur et de signes suivantes, représentées (fig. 46) par la courbe AMB
lim y = — a
y <0 croît
^ > croît
a j/ = - maximum
y >0 décroît
2/ <0 décroît
x = H-oo
lim 1/ = — a
■41. EXEMPLE XII. — Une fraction de la forme y.
ax (x — a) :» — ax -h a^
égale et de signe contraire à la précédente, présente au contraire
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lie COMPLÉMENTS D'ALGÈBUE.
seulement un minimum égal à — » et correspondant à
B^ ;r = ^« et donne une courbe
y symétrique de la précédente par rapport à X'X (fig, 47),
148. Étude de Ia fouc- UoB entière du troisième de^ré, — Cette fonction
y z= ax^ H- bx^ -i-cx-hd
reste finie et continue pour toute valeur fmie de x. Nous suppose* rons o>>0. Si on écrit la fonction sous la forme
on voit que pour x=: — oo on a y=: — ooXa = — », et pour x = -h<x) y=^^oo.
Les dérivées successives sont :
y' ;= Sûur* H- 26x H- c,
^" = 6ar-h2^ = 6a^^4-^)» ï/'" = 6a.
En égalant à zéro la dérivée première, on est conduit à distinguer trois cas.
I. b^ — Zac > 0. La dérivée i/' a deux racines réelles et inégales x' <C •^■" et peut s'écrire
Le tableau des variations de la fonction est donc le suivant :
y croît
y maximum
y décroit
y minimum
y croît
VARIATION DES FONCHONS.
La courbe présente la disposition AMNB (fig. 48).
Si le maximum et le minimum de y sont de signes différents, la courbe coupe X'X en trois points C, D, E. C'est dire que Féquation ax*-hbx*-^-cx-hd = a trois racines réelles et inégales, puisque la fonction y devient nulle pour trois valeurs distinctes de la variable.
Si le maximum ou le minimum a pour valeur zéro, la courbe est tangente à X'X, elle a la disposition A'M'N'B' ; alors
Téquation du 3* degré a une racine simple représentée par x= et une racine double a: = ON'.
Enfîn, si les valeurs du maximum et du minimum de y sont de même signe, la courbe, telle que A"M"N"B", ne rencontre X'X qu en un point C", Téquation du 3" degré a une seule racine réelle x= — OC" et deux racines imaginaires.
II. b^ — Zac = 0. La dérivée première y' a deux racines égales
Fig. 4»,
OC
=— Cette racine est commune à la dérivée seconde. ôa
chacune à
Alors y' étant de la forme
y' = Za{x — xy
ne cbange pas de signe en passant par zéro, la fonction n a donc ni maximum ni minimum. Seulement au point I correspondant à x=x' la tangente est parallèle à X'X, et comme la fonction continue de croître, la courbe traverse cette tangente ; ce point est ce qu'on appelle un point d* inflexion (fig. 49). On verra plus loin que cette particularité géométrique du point dont labscisse est x^ est indiquée par la condition algébrique que la dérivée seconde s*annule pour x = x\ La dérivée troisième, qui est constante et égale à 6a, est positive par hypothèse ; on a vu précédemment qu'il doit en être ainsi, puisque la fonction ne cesse pas de croître quand y* passe par zéro (n*» ii«).
L'équation du 3« degré ne peut avoir alors qu'une seule racine réelle, ou bien ses trois racines sont égales à x' quand cette racine est commune à y, y' et y" (fig. 50).
Fig. 49.
111. i* — 3 flc < 0. La dérivée ayant ses racines imaginaires ne
devient jamais nulle, la courbe * n'a aucun point où la tangente soit parallèle à X'X. Mais elle a toujours un point d'inflexion I où la courbe traverse sa tan- X gente T'T (l'abscisse OP de ce point est la valeur de x qui annule y"). L'équation du 5« degré n'a alors jamais qu'une seule racine réelle (fig. 51).
