Étude d*une fraetlon algébrlanc d*iin ordre pins élevé

— Soit la fraction

a/Iy,

Fig. 50.

'A FiK. 51.

Cette fonction s'annule et change de signe pour a: = l, elle devient infinie sans changer de signe pour j-^O, et croît indéfiniment en valeur absolue en môme temps que x.

Prenons la dérivée

5(.r— i)*;r' — Sj-.t— IK- f.r — 1 )* (.r -h 2)

On étudie la fonction dans les deux intervalles suivants

INTEnVAHE

LNTERVALLE

X=z — oo

y = — oc

X=:-ht

y croît

y croît

^ =— y maximum

y croît

y décroît

y^ — oc

Poura:=l la dérivée s'annule, mais ne change pas de signe, la courbe composée des deux branches AMB et CID est tangente en I à X'X et, la fonction continuant de croître, la courbe traverse sa tangente; I est un point d'inflexion (fig. 52).

VARIATION DES FONCTIONS

iSO. Cas où la dérivée chaage de signe ea passant par l'Infini, la fonction prenant nne valeur finie. — Soit

Cette fonction reste finie, continue îT Y

et positive pour toute valeur finie de X, La dérivée

Elle ne s annule pour aucune valeur finie de x, mais tend vers zéro quand la valeur absolue de x croît indéfiniment. Elle devient infinie et change de signe pour x = 0.

On a donc le tableau suivant :

— oo

y = '{-oc

y décroît

y =zO minimum

1/ croît

X = -f-oo

La courbe est symétrique par rapport à OY, car si Ton change x en — X, ^x* ne change pas, et se compose des deux arcs OA, OA', tangents l'un et Tautre en à Taxe OY et s'arrôtant en 0. Ce point est ce qu'on appelle un ;7om/ de rebroussement (fig. 55).

f l(i. Cas où la fonction n'est réelle que dans certains Intervalles.

ist. Exemple I. — «trophoide. — Soit

«* = — ^ ou y = ±xK/ •

^ a-hx ^ Y a-Hx

On suppose a>0. A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y (égales et de signes contraires ; il suffit de prendre la valeur de y qui est précédée du signe H-, Tétude des variations de la 2« valeur s'en déduira. L'expression de y n*est réelle que si le

quotient est positif, et par conséquent si x varie de — a à

Prenons la dérivée

V a-hx

av

sja — X axyja-^x

(a-Ha:)»i/iZlf V^« + ^ (a-hxYsJa — x

ou en réduisant

, .r'-f-ax — a* (x — o(f){x — x")

On voit que y et y' sont infinies pour x= — a. Pour x = y = et 2/' = -i-l

Pour x = a y = et y' devient infinie.

La dérivée s'annule en même temps que son numérateur x^-^ax — a* dont les racines x^, x" sont de signes contraires. Mais si dans ce polynôme on substitue à x les nombres

on a les résultats

/•(—«)=— a» f(0)=^a^ f(a) = -ha^

Les nombres — a et sont donc compris entre les racines : la racine négative étant inférieure à — a ne doit pas être conservée, et la racine positive seule convient ; cette racine a pour expression

x" = ^ * -t on la construit donc en partageant la longueur

donnée a en movenne et extrême raison.

VARIATION DES FONCTIONS

Les variations de y sont alors les suivantes :

— oo

1/ < croît y = y>0 croît

y = ^ V iO v/5 — 22 maximum

i/>0 décroît y =

La courbe a la disposition COMA (fig. 54); puisque pour x =

y' = iy c'est que la tangente en fait avec OX un angle XOT = j»

et puisque pour a: = a y' est infinie, y 2

la tangente en A est perpendiculaire "'

à X'X. Les variations de la deuxième valeur de y sont représentées par l'arc C'OM'A symétrique du précédent, et la courbe complète est appelée strophoïde.

Exemple IL — Soit une fonction y y ^^ telle que ^3