x-ha)Hx'ha) I^J ~ 2Ï
ou
5ar(2x-4-a) \/x(x -t- a)
Fig. 54.
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs égales et de signes contraires : il suffit d'étudier les variations de la valeur positive de y.
En prenant les dérivées des deux membres de Téquation [1], on a
2yy'z=^^['5x*{2x-haY(x-^a)-^J^a^(2x-ha){x-ha)
ou
ou enfin
OU
%2/' = 2^4^*(2^4-a)[5(2.rH-a)(a:-f-a)-+-4a:(x-f-a)-l-x(2i:4-a)]
el par conséquent
^ 2a* 6.r(2.r -h a) y/ï v/TT^
; 5\/^ (i2j:«-f-l4ar-t-5a«)
r.a formule [2] montre que la fonction y n'est réelle que quand x(x -h a) > 0, c'est-à-dire quand x< — aoua:>O.La courbe n'a donc aucun arc compris entre les parallèles Y'OY et Z'AZ.
Cette fonction s'annule pour .r = — a, x=iO, x = — -•
La solution x = ~^ donne le point T, milieu de OA, mais pour les
valeurs infiniment voisines y est imaginaire. Ce point I est donc un point isolé. D'ailleurs y croît constamment et dépasse tout état de grandeur quand la valeur absolue de x augmente indéfiniment.
La dérivée y' s'annule et change de signe pour xzzrix' etx=: x'\ mais ces deux racines sont négatives et comprises entre — a etO, car pourj:=: — a le trinôme 12j;« -4-1 4ajc-f- 3adevient égal à a', et d'autre part — a est infé-
rieur à — ^ — qui vaut — j^.
Fig JJ5 A ces valeurs de x qui annulent la dérivée
correspondent des valeurs imaginaires de y, La dérivée y' s'annule encore pour x = 0, la tangente en est donc OX, et ce point est un ^oint de rebroussément.
VARIATION DES FONCTIONS. 12'
Enfin pour:r = — a, la dérivée est infinie, donc la tangente en A est AZ, et quand x tend vers — oo , y' devient encoiv infinie.
Donc les branches de la courbe présentent la disposition de la figure 55.
m. Ir'arlaUon du -wolume d*aiie boite rectangulaire.
une feuille de carton rectangulaire ABGD
on trace des droites parallèles aux quatre a jc m^
côlés et toutes à la même distance de ces
côtés, on enlève les quatre carrés AM, BN,
CP, DQ et on relève les rectangles MM'iNN',
ISN'TF', PQ P'Q', QMQ"M"; on forme
ainsi une boîte à base rectangulaire MNPQ .
Étudiei* les variations du volume de cette D' ÎP zb~
boite quand on fait varier la distance AM' Fi g 56
(lig.56).
Soient 2a et 26 les côtés du rectangle donné ABGD, supposons a <6, et désignons par x la distance AM'.
L'aire du rectangle de base MNPQ vaut (2a — 2x)(ib — 2x) ou 4 (a — x) (b — x) ; la hauteur du parallélépipède étant Xj le volume de la boîte est
V = ix(a — x){b — x).
C'est une fonction entière du 3^ degré ; algébriquement la fonction reste finie et continue pour toute valeur finie de la variable, mais, d'après la nature de la question géométrique, x ne peut varier que de à a, moitié du petit côté de ABCD. Pour x = comme pour x=a le volume est nul, donc il doit passer par un maximum pour une valeur de x comprise entre et a.
Prenons la dérivée
Y = ^[(a — x){b — x)—x(b — x) — x(a — x)] Y = 4(3x« — 2a.r — 2bx -h ab).
Considérons l'équation
^x^ — ^(a-hb)x-^ab = 0;
en substituant et a dans le premier membre, /'(0) = a6>0, et f{a) = a^-'ab=:a(a — b)<0.
Ces résultats sont de signes contraires ; les racines sont réelles et
COMPLÉMENTS DMGËBRE.
distinctes. D'ailleurs elles sont positives. De plus, f{a) étant de signe contraire au premier terme, a est compris entre les racines : ainsi
Donc la plus petite racine seule convient au problème. Cette racine est
__ g H- fr — \/{a -h b)^ — 5flfr g -f- fr — \/a^ — ab-h b*
On voit même qu'elle est comprise entre = et 3» car
et
Désignons par Yj la valeur correspondante du volume de la boîte. Ce volume varie de la manière suivante :
V croît
V = V, maximum
V décroît
x=za
Aa(a
En continuant de faire varier x on peut étudier la fonction algé-
vn"^
il/
aK X
Fig. M.
brique V et trouver son minimum qui correspond à l'autre racine x"
VARIATION DES FONCTIONS. 125
de la dérivée {n^ 141») . Mais de la courbe complète CHÂND Tare OMA a seul une signification géométrique dans la question proposée (fig. 57).
Clas partieiiller oit le re«teiif;le donmé est mi earré. — Il suffit de supposer dans ce qui précède b = a;
alors Y = 4x (a — x)«
dont les racines sont
I^ maximum V, a donc pour valeur Vi = -^ ( -;;r- j = -^•
La dérivée s^annulant en même temps que la fonction pour x = a, il en résulte qu'au point A l'arc de courbe OMA est tangent à X'X (fig. 58).
iS4. Étude du produit x^y'' quand la somme X-hy est constante. — Les facteurs variables x et y ont une somme constante et positive a, et les exposants m et /; sont entiers et positifs.
Puisque x-hy=^a on a y = o. — x
Donc le produit U = x^y^ = a^ (a — xY
sa dérivée
\j'=m'*x~^ [a—xy—px^ [a—x)^^ =^x^^[a—x)^^ [m (a— x) —px]
ou
U' = x"-* (a — x)"-* [ma — (m -f-jy) ^1
cette dérivée s'annule pour
A wia
x = x = et x=^a.
Mais il faut s'assurer si elle change de signe en passant par zéro. Pour cela distinguons suivant que les exposants m et p sont pairs ou impairs.
!•» Si m et p sont iinpaii*s et plus grands que I , m — 1 dp — I sont des nombres pairs, a;""* et {a — zY~^ restent toujours positifs; donc quand x passe par les valeure et a, U' ne change pas de signe en s'annulant. A ces valeui's de x ne correspondent ni maximum ni minimum.
Quand x croît de — « à
et quand x croît de
ma
ma m-hp
à-f-oo
L' croit U décroît
La courbe est tangente en et en A à X'X et traverse cette tangenle. Ce sont deux points d'inflexion, on a la courbe COMAD (fig. 59).
Fip. 59.
Fip. 60.
2<» Si m est impair > 1 et si p est pair, pour x =^ a\e facteur (a — xy-^ ayant un exposant impair passe du négatif au positif, donc la fonction passe par un minimum.
La courbe COMAD a la disposition de la figure 60.
3" Si, m étant pair, IVxposant p est impair, c'est au contraire
"ir
Fig. Cl.
