PA T
Fig. 62.
le facteur a:"-* qui passe du négatif au positif quand x atteint et dépasse la valeur 0, et pour cette valeur de x la fonction présente un minimum; mais pour x=a la courbe a un point d'inflexion (fig. 61).
VARUTION DES FONCTIONS.
4® Enfin, si m et /> sont des nombres pairs, chaque facteur change de signe en passant par zéro et la fonction présente un minimum
pour x = 0, un maximum pourj: =
ma
m-hp pour a: = a (flg. 62).
Dans tous les cas le produit U devient maximum pour
- et un autre minimum
mn-j»
ou
De là ce théorème:
Si la somme de deux facteurs variables x et y est constante et positive, ces facteurs étant affectés d'exposants entiers et positifs, le produit de deux puissances de ces nombres devient maximum quand les facteurs sont proportionnels à leurs exposants.
Cas particulier oit les exposants m et p sont égaax A 1 . —
Dans ce cas le produit
V = x{a — x)=ax — x'
il a pour dérivée
on est ramené à Tétude d*un polynôme du 2® degré qui devient maximum pour x = ^»
c'est-à-dire quand les facteurs x et a — x sont égaux (fig. 63).
155. Étade d*ane fonction trif^onométrlqne. — PROBLÈME. — Un point M est mobile sur une circonférence 0, on trace la tangente en M et de A' on abaisse U
la perpendiculaire A'H sur cette tangente ; étudier comment varie la surface du triangle A'MH quand l'arc AM croU de à i: (fig. 64).
Soit X Tangle AOM, et S Taire du tri- j^^^ j^lj=: ^^
angle A'MH,
S = iA'HxMH;
Fig. 63.
or dans le triangle isocèle A'OM chacun des
Fig. 64.
angles A' et M vaut '^» il en est de même de Tangle MA'H,
donc
A'H = A'M cos| = 2r.cos« | = r(\ -h cos x),
MH = A'M sin ^ = 2r sin ^ cos ^ = r sin x.
S = ç r* sin x{i -4- cos x).
On voit que cette surface devient nulle pour a: = 0, x = iz, a:=2ic..., et que si l'on change ^ en — or, S est changée en — S. On doit donc considérer la surface comme négative quand le point M est sur la demi-circonférence inférieure.
Prenons la dérivée :
S' = ^ [cos a: (1 -+- cos j:) — sin'x] = 3- [cos* x — sin' x 4- cos x] .
S' == ^ [2 cos'x -h cos X — 1].
Or les racines de Téquation
2 cos'x -h cos X — 1=0 sont :
!•» cosj:= i = — i
Par suite,
S' = r* (cos a; -h!) (cosx — ^j ;
le l®"^ facteur s'annule pour:r = :r, mais sans changer de signe; le 2*î facteur s'annule et passe du positif au négatif quand x atteint ^ ; on a donc le tableau suivant :
VARIATION DES FONCTIONS
cosx
cosa;=.i
s croît
S = — ^ maximum
cosar<^
S décroit
COSX::?— 1
^<x<in-l
cos-x<;^
S décroît, devient négative.
cosj:=^
S = ^ mmimum
27t — ^<ir<2ir
S croît
X = 2lt
ces a; =r i , .
S^O et croît
Représentation graphique, -t- Les variations de la fonction sont donc figurées par la courbe , ' .
OHAH'B, qui est tangente en A à Taxe OX, et traverse cette tangente, le maximum PH correspondant à 3 et le minimum égal et de signe contraire, — P'M', correspondant à 2:t — »
ouÇ{fig.65).
Ti-^
V r fl" X
Fig. 65.
iS0. Choix coBvenable de la variable pour qae la méihode •oit applicable.
Les raisonnements qui nous ont permis d*établir (n*** 105, •••) la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction passe par un maximum ou par un minimum pour x = a, supposent que la variable X puisse croître de a — ft à a, puis ka^hei par conséquent prendre successivement des valeurs un peu inférieures à a et d*autres un peu plus grandes que a. Si le champ de la variable est limité précisétnent
LAUXAV. — COITPL. D ALG.
par la valeur a, la méthode ne s'applique plus et ne peiinet pas de trouver algébriquement certain maximum ou un minimum que la
géométrie indique d'une manière
évidente.
Exemple. — Maxlmam on mlnlminn de la dUtaoce d'un point ^ P A nne cireonfférenee. — La distance PM passe évidemment par un maximum et par un minimum quand le point M vient en A ou en A' sur le diamètre POX (fig. 66).
Or, si Ton prend pour variable x la distance PH du point P à la projection du point M sur PX, on a, en désignant par z la distance PH et par d la distance PO,
3»=:r«4-rf« — 2rfxOH = r»4-rf« — 2d(d — ^)
Fig. 66.
donc
x» = r» — df»H-2da?
et
« = Vr« — rf*H-2rfx
et la dérivée
y/r^^d}'{-'hlx
Cette dérivée ne peut s'annuler ni changer de signe, elle n*indique donc ni maximum ni minimum pour z.
C'est que la variable x est assujettie à ne varier que de PA' à PA et ce sont là précisément les valeurs qui correspondraient au minimum et au maximum.
Mais si on change de variable, prenant par exemple l'angle /\ A'OM =: a, l'expression de z en fonction de a est
qui donne
z = yjd* -+- ?•« — 2(/r cos a dr sin a
yjd^ H- r* — Mr cos a l'angle a peut varier de — oo à -h oc ,
VARUTION DES FONCTIONS. 151
Quand k croit de — * c à et à H- 8> sin a passe du négatif au positif, ainsi que z\ donc z passe par un minimum qui est
et quand a croît de i: — « à tt et à tc -H e, sin a passant au contraire du positif au négatif, % passe par un maximum qui vaut d-^rr.
EXERCICES
1. Étudier les variations des fonctions suivantes, et construire les lignes qui les représentent :
y=-^ y=-- xcota
•^ a ^ sma
y=:xtangfli+ b y = r^^ —X.
2. Étudier les fonctions suivantes, et construire les courbes :
4/1 (.r — fi)(x — b) .r* a
