Ëtudier les vaHations du produit

et déduire de là les conditions pouf que Téquation x (p — o^) = ^ ait deux racines positives.

7. Démontrer que si une fonction f{x) prend des valeurs égales f(a) et f(b) pour deux valeurs distinctes de x, a et b, et si elle reste finie et continue ainsi que sa dérivée quand x croit de a à fr, la dérivée f{x) s'annule au moins une fois pour une valeur de x comprise entre a et b,

8. Démontrer que si f(x) = est une équation algébrique, deux racines réelles consécutive* de cette équation comprennent toujours au moins une racine réelle de Téquation f(x) = 0. (Théorème de RoUe.)

9. Conclure du théorème précédent qu'entre deux racines réelles consécutiveê de l'équation /*(a;) = il ne peut exister plus d'une racine réelle de l'équation f\x) =. 0.

iO. On donne un triangle ABC, on trace la médiane AM de ce triangle, et on la prolonge indéfiniment : un point P est mobile sur cette droite ; étudier comment varie la somme des carrés des distances de ce point P aux trois sommets du triangle. Pour quelle position du point P cette ^omme passe-t-elle par un minimum?

il. Dans un triangle rectangle ABC, un point M est mobile sur la bissectrice Z'AZ de l'angle droit ; on construit le carré APHQ et le triangle MBC; étudier comment varie la somme algébrique des aires APMQ + MBC (fig. 67). Attribuer un signe à l'aire du triangle MBC suivant la position du point M.

Fig. 67.

Fig. 68.

12. On donne une circonférence à laquelle on mène deux tangentes parallèles» un point P est mobile suir le diamètre CD; ou trace par le point P la perpendiculaire PI à ce diamètre, puis les sécantes CI6, DIA et la droite AB. Étudier comment varie Taire du trapèze ABCD (fig. 68).

13. On donne un triangle rectangle ABC, on mène par un point quelconque H de la ligne indéfinie AC les droites ME parallèle à BC et MF parallèle à AB, puis on trace la droite CE qui coupe MF au point P; étudier les

YARIATIO?! DES FONCTIONS. 13S

variations de la longueur MP, et construire le lieu géométrique du point P (fig. 69).

\A. On donne un triangle ABC ayant une base a et une hauteur h, on

Pig. 69.

Fig. :o.

trace une parallèle MN à la base BG et le rectangle MNPQ; étudier les variations de la diagonale d de ce rectangle quand le point 1 parcourt la droite indéfinie AIL — Minimum de cette diagonale (fig. 70).