Étudier la fonction
îKr*(.r-|-<ï)5
Dans quels intervalles peut-on faire varier x pour que la fonction soit réelle? -- Peut-elle devenir b^ infinie? Construire la courbe.
37. Dans une circonférence donnée 0, dont le rayon est r, on trace le diamètre AD et une corde BC perpendiculaire à ce diamètre; on décrit sur BC une demi-circonférence à laquelle on mène du point â les tangentes AE, AF. Exprimer en fonction du rayon r et de la distance h\ = x Taire du
C01IPLÉME>'TS D'ALGÊMIE.
triangle AEF. Étudier comment varie cette surface quand on fait varier x
(fig.7i).
38. l'ne pyramide SABCD a pour base un carre dont la diagonale a pour longueur "ia, une arête SA == A est perpendiculaire au plan de la base. On trace dans le plan de la base une parallèle MN à la diagonale BD et par HN on mène le plan perpendiculaire à la base.
i* Étudier comment varie le rapport de Taire de la section MNPQR faite par ce plan dans la pyramide à Taire du triangle SAC quand on fait croître la distance AI = x de à a.
2* Quelle doit être la hauteur h pour que le maximum de la section MNPQR soit équivalent au carré ABCD?
Fig. 72. 3* Comment varie la section quand x croit de a
k 2a (fig. 72)?
39. On donne une droite X'X et les deux perpendiculaires AC, BD dont la distance est a, un triangle équilatéral MNP a Tun de ses sommets M sur X'X à la distance x du point A et ses deux autres sommets N et P respectivement sur AC et BD. Calculer le cêté y du triangle MNP en fonction de a et de x; étudier comment varie la longueur y quand le point M parcourt la droite indéfinie X'X (fig. 73).
40. On donne une droite X'X sur laquelle sont ¥\g. 73. marqués deux points fixes A et B et un point mo-
bile M. On trace les demi-circonférences qui ont pour diamèti^es AB, AM et MB, puis une circonférence I tangente aux trois
demi -circonférences précédentes. Soient AB:^2aet AM = 2x.
i* Exprimer en fonction de a et de :r le rayon p de la circonférence I, en plaçant successivement le point M sur X'A, sur AB et sur BX.
2* Étudier comment varie ce rayon p
quand le point M panM)urt la droite indéfi-
Fig. 7i nie X'X. (On attribuera un signe au rayon p
suivant qu'il est compté à partir de P dans
le sens PO ou en sens contraire.) Vers quelle limite tend le rayon p quand
le point M s'éloigne indéfiniment (fig. 74)?
4i. On construit deux troncs de pyramide : Tun de première et l'autre de deuxième espèce ayant pour bases communes un carré donné a* et un carréwariable ai*, la hauteur h est constante. Étudier comment varie le rapport de leurs volumes quand on fait varier le côté x de la base supérieure.
VARIATION DES FONCHONS.
42. On donne une circonférence fixe et un point P mobile sur un diamètre X'X. On mène de P lés tangentes PA, PB et on trace la circonférence I tangente à la circonférence et aux droites PA et PB. Gomment varie le rayon y de cette circonférence (fig. 75) ?
Fig. 75.
Kig. 76.
Fig. 77.
43. On donne deux droites rectangulaires et un point P, dont les distances aux côtés de Tangle droit sont a et b, une sécante APB tourne autour de ce point fixe, et rencontre X'X en A, YT en B. Étudier les variations de Taire du triangle AOU (fig. 76).
44. Variation de Taire du trapèze de sustentation quand un homme ayant les talons fixes en G et D fait tourner les pieds autour des talons. — Désigner par p la longueur du pied, 2d la distance des talons, 2x la dislance des pointes. Démontrer que Taire du trapèze devient maximum quand l'angle ACB de chaque pied avec la diagonale qui passe par le talon est un angle droit. — Gas où </ = 0. — Ge trapèze maximum peut-il être un demi-hexagone régulier? — Vers quelle figure tend-il quand la distance d croit indéfiniment (fig. 77) ?
45. On donne une circonférence et un point A dont la distance au centre est a, on trace une corde BG perpendiculaire au diamètre OA à une distance variable du centre; étudier comment varie Taire du triangle ABG — Distinguer suivant que la distance OA est inférieure, égale ou supérieure au rayon. — Gas où a == 0?
46. On donne une circonférence et un point P; on joint ce point P à un point quelconque M de la circonférence, et Ton trace HS perpendiculaire à PH et MH perpendiculaire au diamètre X'X; étudier les variations du volume engendré par SMli tournant autour de X'X. On donne le rayon r, la distance PO =d et Ton appelle x la distance PII (fig. 78).
Le point P étant intérieur au cercle, examiner les différents cas suivant
que d < =z ^ -Û-- Construire les courbes correspondantes.
Fig. 78.
47 é On donne un triangle ABC dont les côtés sont a, b, c, soit fr > c. Un point M est mobile sur la bissectrice de l'angle intérieur A, soit AM = x.
MB
Ëtudiei* comment varie le rapport des distances tr-j" 3lontrer que ce rapport devient minimum quand H est au centre du cercle inscrit, ot mai^imum quand M est au centre du cercle exinscrit. — Tracer la courbe.
48* Variation de Taire d'un rectangle CDEF inscrit dans un secteur circulaire donné OAB. On donne le rayon r et le demi-angle 10B = a; on désigne par x Tangle lOC {Cig. 79).
i* Condition pour que le rectangle maximum soit un carré.
2* Maximum du rectangle CDMN inscrit dans le segment de cercle AlB.
FIg. 79.
Fip. 80.
49. On donne deux parallèles dont la distance est h, et une sécante AB. On prend à parlir de A une longueur AG = ( ; une deuxième sécante tourne autour du point C. Étudier les variations de la somme des aires des triangles ACM et BMF. (Prendre pour variable la dislance IM et attribuer un signe aux aires des triangles.) (Fig. 80.)
50. Ou donne deux droites parallèles dont la distance est h et un point P situé à une distance d de X'X; un angle droit a son sommet en P et tourne autour de ce point, Fun de ses côtés rencontre X'X en A, et l'autre rencontre Y'Y en B. Étudier comment varie l'aire du triangle rectangle PAB(fig. 81).
Fig. 81.
51. On donne un angle aigu ZOX et un point A sur OX; d*un point M pris sur OX, entre et A, on abaisse sur OZ la perpendiculaire MP et on
considère la longueur y donnée par la formule y := yUM x MA + 2MP'. On
VARIATION DES FONCTIONS
demande comment y varie quand le point M se déplace sur OX, de en A. Courbe figurative (fig. 82). (Saint-Cyr, 1884.)
52. On donne un angle droit XOY, un point À dont la distance à OY est a, et la distance à OX est h* Par ce point on mène une sécante MAN. Ëtudier les variations de la quantité z* = \ff + AN* quand la sécante tourne autour de A (fig. 83). (Saint-Cyr, 1885.)
Kijr. 8:>.
53. On donne un demi-cercle AOfi, une droite AZ faisant avec AB un angle aigu a ; en un point G quelconque du diamètre AB on élève la perpendiculaire CD au diamètre AB, qui rencontre en D la circonférence, et en E la droite AZ. Étudier les variations de l'expression « = CD-f CE quand C se déplace de A en B. — Positions du point C de telle sorte que CD -{- CE ;:= / (fig. 84). (Saint-Cyr, 1886.)
54. Dans un triangle donné ABC dont la base est a et la hauteur hy on inscrit un rectangle DEFG dont un côté FG est placé sur BC, et on construit au-dessous de FG le triangle équilatéral FGH. Étudier la variation de la surface DEGBF quand DE se déplace parallèlement à BC (fig. 85). (Saint-Cyr, 1887.)
55. On donne deux parallèles AX, A'X' dont la distance AA' = a. On prend sur ces deux droites, d'un même cùté de AA', deux longueurs AO:=a;, A'0'==y qui sont variables, mais liées entre elles par la condi-
tion a:y=-j* De et 0' comme centres, avec les
rayons x et y, on décrit deux circonférences (Vig, 86).
1* Démontrer que ces deux circonférences sont tangentes.
2* Trouver le lieil de leur point de contact M.
S* On trace la droite AM que Ton prolonge jusqu'à sa rencontre en C avec A'X', et la droite A'M jusqu'à sa rencontre en C avec AX ; on joint CC. Étudier comment varie l'aire du trapèze ACA'C. — Minimum de celte aire. Tracer la courbe. (Saint-Cyr» 4888.)
Fig. 83.
Fig. 86.
FIg. 87.
56. On donne un triangle isocèle ABC (fig. ^7), un point P sur U base BC^
on mène 'parallèlement à BG une droite rencontrant
A6 en M et AC en N. Étudier comment Tarie le rap-
PM port |j^ quand la ligne MN se déplace parallèlement
à BC. — Prendre pour données la lon^eur AP = /»
les angles PAB = p, PAG ^ y> et comm^ variable la
longueur AM.
Cas où p = T. — Solution géométrique. Construire
PM MN pour que j^ = K- (Sainl-Cyr, 1889.)
&7. On prend sur les côtés d*un triangle donné ABC {fig. 88) les points AS B', C tels, que
i* Évaluer en fonction de Taire S du triangle ABC et du.rapportdonnéA: les aires des triangles AB'C, BG'A% GA'B' et A'B'C'.
2* Suivre la variation de Taire du triangle A'B'C lorsqpe le rapport k varie. Tracer la courbe. (Saint- Cyr, 1892.)
58. On donne un triangle ABC (flg. 89) et, dans Tespace, une droite indéfinie X'X qui passe par A et t'ait avec AB et AC les angles p et y* l^n point H se meut sur la droite X'AX. Étudier la variation du
rapport HP • — Montrer que les positions remarquables du point M sont les points de rencontre de la droite X'AX avec la sphère qui a son centre sur cette droite et qui passe par les points B et G. (Saint-Cyr, 1893.)
59. On donne une sphère de rayon r (fig. 90) et, sur son diamètre, deux points A et A" extérieurs à la sphère et tels que la distance AA' = /, On considère la surface composée de la somme des surfaces latérales des deux cônes circonscrits à la sphère ABB' et A'GC et de la zone BB'CG' comprise entre les deux circonférences de contact.
Etudier comment varie le rapport de cette surface à celle de la sphère quand on déplace le point A. — Tracer la courbe et reconnaître quel est Tare qui convient réellement à la question géométrique.
00. On donne sur une circonférence un point fixe A et un point mobile M
Fi;. 89.
VARIATION DES FONCTIONS
(fîg. 91), on trace la tangente en A, la tangente en H et la perpendiculaire MU abaissée de M sur la tangente en A. Étudier les variations de Tain'
du triangle MFH quand on fait varier l'angle KOV.
Fig. 91.
Kiif. 92.
61. D*un point H mobile sur une circonférence (fig. 92) on abaisse sur le diamètre fixe AA' la perpendiculaire MI, et de I on trace les droites IB, IB' perpendiculaires à MA et MA' jusqu'à la rencontre de la tangente en BI. Etudier les variations de l'aire du triangle IBB' quand le point M parcourt la demi-circonférence AMA'.
62. On trace la tangente en A à une circonférence (flg. 93), on y prend une longueur AP égale au rayon et par le point P on trace ujie sécante quelconque PBC qui fait avec PA un angle x, Ëtudier lès variations de l'aire du triangle ABC quand on fait varier l'angle x. — Tracer la courbe.
Kig. 95.
Fig. 95.
63. On donne un cône SAB, dont le rayon est r et la hauteur h (fig. 94). A une distance x de la base on mène un plan parallèle à cette base. Étudier les variations du volume du cône inscrit OGD. Construire le cône inscrit de volume maximum. ~ •
64. Un point M est mobile sur une circonférence 0, de ce point on abaisse la perpendiculaire MH sur le diamètre AA' et du point H on mène la parai* lèle HB à la corde MA. Étudier les variations de l'aire du trapèze AMBH (fig. 95).
142 COMPLÉMENTS D'ALGËBRK.
05. On donne un trapèze ABCD (Og. 90) dont les trois côlés AB, BC, GO sont égaux à a, et la base AD égale à 2a ; on fait tourner cette figure autour d*un axe X'X situé dans son plan passant par le point A et faisant avec AB un angle x, — Trouver en fonction de a et de X rexpression de la surface engendrée par le périmètre ABCD. — Maximum de cette surface. — Tracer la courbe qui figure les variations de la fonction et indiquer Tare qui convient seul h la question géométrique.
