Étudier la fonction
y = 3 sin" X — 1? sin X 4- 8 et tracer la courbe,
75. Une circonférence est inscrite dans un carré dont un côté BC est
VARIATION DES FONCTIONS
tangent en A. On joint un point M, mobile sur la circonférence, zux trois points 0, B, C [ûg. 97).
1" Exprimer en Tonction du rayon r et de Tangle
AOM = X les distances MB et MC.
2* Étudier comment varie le produit MB x MG quand x croit de — oo à + oo .
3» Variation du rapport rip» Tracer les courbes.
Fig. 97.
Fig. 96.
70. On donne une droite X'X et un point A situé à la distance h de X'X; un angle droit BAC tourne autour du point A, Étudier comment varie la longueur j^ de la médiane BM du triangle rectangle BAC quand le point B parcourt X'X,
Tracer la courbe qui représente les variations de cette fonction.
Écrire à Taide de radicaux simples Foxpression de X pour laquelle BM devient égale à une longueur donnée /. — » Calculer et construire les côtés et les segments de Fhypoténnse du triangle ABC quand la médiane passe par un maximum ou un minimum. Dans quel rapport le point partage-t-il alors Fhypoténuse (fig.OS)?
77, On inscrit un cylindre dans une sphère donnée; étudier la variation du volume du solide formé par ce cylindre surmonté à Fune de 9es bases par Fhémisphère de même rayon que cette base. (Saint-Cyr, 1894.)
78, On mène d'un point A deux tangentes AB, AC, à une circonférence donnée et d*un point quelconque H de cette circonférence on abaisse les perpendiculaires HP, MQ sur les tangentes. Étudier la variation de la somme BIP + MQ quand M décrit la circonférence (fig. 99). (Examens oraux de St-Cyr.)
70, Un quadrilatère est formé de deux triangles rectangles symétriques; montrer qu'il est à la fois inscriptible et circonscriptible.
— L*hypoténuse commune aux deux triangles restant constante et égale à a, on fait yaricr l'angle ABC. Étudier comment varie le rayon du cercle inscrit dans le quadrilatère. — Interpréter les deux solutions (fig, 100). (Examens oraux.)
80. Dans un tétraèdre donné SABC, on fait une section DEF parallèle à la
14i COMPLÉMENTS D'ALGËBRK.
base, et on mène le plan DBG. Ëtudier comment varie le volume delà pyramide DBCEF (fîg. 101). (Examens oraux.)
81 . Dans un tétraèdre donné on trace la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées, un point P se déplace sur celte ligne, fitudier la variation de la somme des carrés des distances.de ce point aux quatre sommets du tétraèdre. — Examiner en particulier la cas où le tétraèdre est régulier. (Examens oraux.)
8*2. On donne deux circonférences et 0' tangentes extérieurement, on mène une tangente commune à ces deux circonférences et un troisième cercle 1 tangent aux deux premiers et à leur tangente commune. Calculer
son rayon et étudier comment il varie lorsque, la distance des centres des deux premières circonfé-
^-^ - — ^1- ^^^ rences restant constan-
^ A / / T t^^ Bx le, on fait varier leurs
rayons (fig. 102). <Exa- A C V ti mens oraux.)
Fig. 102. Fig. t05. 85. Dans un demi-cer-
cle donné on trace une parallèle EF au diamètre ÂB, puis les perpendiculaires EG, FD sur le diamètre et les tangentes en E et F. Étudier comment varie Taire du pentagone CESFD quand la distance x de AB à EF croit de Q à.r (fig. 103). (Examens oraux.)
84. Dans un triangle isocèle, on donne la base 2'a ett le demi-angle au sommet a, on mène une parallèle à la base EF.
y Démontrer que le trapèze BCEF est inscriptible. 2* Calculer le rayon du cercle circonscrit, et suivre ses variations quand la distance x de BC
à la parallèle EF croit depuis zéro jusqu'à la longueur lA (tig. 104).
(Examens oraux.)
85. Dans une demi-circonférence on trace une corde GD parallèle au diamètre AA', et on mène la tangente en A. Étudier comment varie la somme des volumes engendrés par le segment de cercle GMD et la figure AEl) tournant autour du diamètre AA' quand on fait croître la distance AH de zéro à r (Hg. 105). (Examens oraux.)
86. Dans une demi-circonférence on trace mu) corde AG. .Comment varie la somme des surfaces engendrées par la corde AG et Tare BC tournant autour du diamètre AB (fig. 106)? (Examens oraux.) *
VAniATION DES FONCTIONS.
87. Sur la hauteur d'un triangle isocèle ABC dont la base = Sa et la hauteur = A, on prend un point H ; on trace les droites BMD, CME et la ligne DE. Variation de Faire MDE quand M se déplace sur OA. — Généraliser la formule et retendre au cas où le point M vient au-dessous de BC. — Tracer la courbe qui représente la fonction, en prenant pour axe des x la droite A'OA (fig. 107). (Examens oraux.)
88. On donne une demi-circonférence; d*un point Pj^mobile sur le diamètre AB, au delà de B, on mène une tangente, et des points A et B on abaisse sur cette tangente les perpendiculaires AA', BB'.
!• Variation du produit PA' x PB' i tracer les courbes (fig. 108). (Exa- 2* Variation du produit AA' x BB' \ mens oraux.)
89. Par le sommet A d'un triangle donné ABC on trace une sécante
quelconque S' S sur laquelle on abaisse les perpendiculaires B£, CF.
BE !• Tracer la sécante S' S de manière que le rapport ^ soit égal à un
rapport donné £• — Comment varie ce rapport quand on fait varier Tanglt*.
dA^=x?
2* Variation de Taire du trapèze BCEF quand la sécante tourne autour du
point A. — Maximum. — Cas où le trapèze devient un rectangle (fig. 109). 90. On donne dans un plan horizontal P deux droites AB, CD qui se
LAinrAT. — COMPL. D*ALG. 10
146 COMPLÉMENTS D'ALGÉURE.
coupent en 0; par la bissectrice 01 de l'angle de ces droites passe un plan vertical V dans lequel est marqué un point fixe M. On mène à la ligne 01 dans le plan P une perpendiculaire quelconque qui rencontre OA en E et OC en F. Étudier la variation de Tangle EMF quand EF se déplace. ^ Soient
ioîi=p, I0A = a, HME = y, 0MH=:x (flg, HO).
