BC-+-GB

ÂC-hCÏ=0 [ej

donc, en additionnant les égalités [yJ, [8], [e], on a encore

iB + BC-4-CA = 0.

La disposition (3) donne de même

CÂ4-A5 = CB ou CA-I-ÂB — CB = 0, et comme

BCh-CB = 0,

on en déduit encore en additionnant

AB-f-BCH-CA = 0.

Sur les figures (4), (5) et (6), les trois points sont respectivement placés dans le même ordre que sur les flgures (1), (2), (3), mais en sens contraire : tous les segments sont donc changés de signe ; par suite, la relation établie pour les trois premières dispositions des segments subsiste encore pour les trois autres. On a donc toujours

ABH"BG-+-CÏ = 0.

Z^ Cas d*u^ nombre quelconque de points. — Il suffit de démontrer que si le tliéorème est vrai pour n points, il subsiste en prenant n-\-i points.

Admettons donc que les segments déterminés par les n points Â, B, C . . . H, K satisfassent à la relation

[1] AB-hBÎ!H-GD...-f.HKH-KÏ = 0.

Prenons un nouveau point L placé comme on voudra sur Taxe X'X. Entre les segments déterminés par les trois points A, K, L, quelle que soit leur disposition, on a la relation

[2T ÂK-hKL-l-LA = 0.

PRËLININAIBES* 151

Additionnons ces deux égalités, en remarquant que AK + KA = 0,

il reste

[3] AB-|-BCh-(!D...4-HK-+.KLh-LA = 0.

Le théorème est donc général*

!•!. Projection d^nn point mur un axe. — Projection d*nn oefpnent de droite. ' — Plans projetants. — Ll|^es projetantes.

— Soit un axe X'X et un plan fixe P qui coupe cet axe. On appelle projection d'un point A de Tespace sur Taxe X'X le point a où le plan parallèle à P mené par le point A rencontre Taxe de projection.

— Soit un segment de droite AB, a et fr les projections des points A et B; si un mobile H parcourt le segment AB, sa projection m parcourt le segment ah en allant de a en b. Ce segment ab pris sur Taxe X'X est la projection du segment^ AS de l'espace, ce segment ab étant positif s*il est parcouru par le mobile m dans le sens X'X, et négatif si m, allant de a en &, marche dans le sens XX' (fig. 114).

Le plan mené par un point A parallèlement au plan P est le plan projetant ce point. On peut ainsi projeter une figure quelconque de Tespace sur un axe.

Pour projeter une figure plane sur un axe situé dans son plan, on peut remplacer les plans projetants par des droites projetantes, toutes parallèles à une direction Z'Z qui coupe Taxe X'X (fig. 115).

iStl. Projections ortiiogona-

les. — Si les plans projetants ou les droites projetantes sont perpendiculaires à Taxe X'X, les projections sont dites orthogonales, sinon elles sont obliques.

Fig. 114<

Fig. 115.

"XT

c hf

Fig. lie.

-yr

les. Théorénie des projections.

— ha somme algébrique des projections des côtés d'un polygone fermé, plan ou gauche, sur un axe quelconque, est nulle.

Soit le polygone fermé ABCDEFKL (fig. 110), parcouru par un mobile M qui, partant de A, va d*abord au sommet B, puis suit tous les autres côtés pour revenir au sommet A ; les projections a, fr, c . . . ^^ f des sommets déterminent sur Taxe X'X des segments ab, bc, .., la^ tels que Ton a, d*aprés le théorème I (n^ i*o),

"âS-^bc-hcd H-S4-/â=0,

mais par déflnition

proj°"(AB) = a?, pro/«(BC)=Âc,

proj»»(LA)=/fl, donc

proj** (AB) -f- projo» (BC) -f- . . . proj«» (KL) 4- proj'" (LA) = 0.

i#4. BéllataoB. — BésiilUuite d*«B «ontowr polyffonai. — Oi)

appelle rémltante d'un contour polygonal non fermé, ABC . . . KL, et parcouru en allant de A en L, la droite AL qui ferme ce contour, c'est-à-dire qui joint le point de départ A au point d'arrivée L. Cette droite étant parcourue de A en L, c'est donc le segment AL.

tes. f*' coroUaire dm Oiéoréaic) des projeetioas. — La somnie algébrique des projections des côtés d'une ligne polygonale sur un axe quelconque est égale à la projection de la résultante du contour sur cet axe»

En effet, si l'on considère (fig. 116) le polygone ABC . . . KLA, on sait que Ton a (n^ IM)

proj«« (AB) 4- proj« (BC) -h . . . proj«» (KL) -h proj«" (LA) == 0,

or

proj«" (LA) = — proj'* (AL)

puisque ce sont deux segments égaux et de signes contraires al et la. Donc

prof» (AB) -h proj*»" (BC; ... -h proj«» (KL) — proj^» (AL) = proj»» (AB) + proj«» (BC) ... -h proj«>» (KL) = proj« (AL).