PRÉLIMINAIRES

i«0. Corollaire II. — Si deux lignes j)olygonales ont les mêmes extrémités, les sommes algébriques des projections de leurs côtés sur un même axe X'X sont égales.

Car chacune de ces sommes est égale à la projection de la résultante, qui est la même pour les deux contours.

fBl, Remarques. — I. On peut énoncer indilTéreniment le théorème des projections sous sa forme primitive ou sous la forme du corollaire I. Car il revient au même de dire qu*un contour polyf2:onal est fermé ou que sa résultante est nulle; et dans ce cas, la projection de cette résultante est nulle aussi.

II. Pour abréger le langage, nous appellerons projection d'un contour polygonal sur un axe, la somme algébrique des projections de tous ses c6tés.

§•8. Angle de de«x direetioms. — Soient deux segments AB et CD, ces deux segments déterminent dans l'espace deux directions, puisque, d*aprés la définition, le premier est parcouru en allant de A vers B, le second en marchant de C vers D; si à partir d*un point on mène les axes OX, OY respectivement parallèles à AB et CD, et de même sens que ces segments , on appelle angle des directions AB et CD Fangle, compris entre et tt, formé par ces deux axes (fig. H 7) . Si les segments AB, CD sont parallèles et de même sens, langle

XOY est nul; s'ils sont parallèles et de sens contraire, OY est dans le prolongement de

OX,X0Y = ir.

Mais en général on a vu en trigononié- f\s. ht.

trie que deux axes tracés à partir d'un

même point peuvent faire l'un avec l'autre une infinité d*angles. Soit en effet « l*angle compris entre et tc formé par OX et OY; si, après avoir fait tourner l'un des axes, OX par exemple, de l'angle a, pour l'amener à coïncider avec OY, on continue la rotation autour du point 0, soit dans un sens, soit dans un autre, à chaque coïncidence nouvelle l'angle se trouve augmenté ou diminué d'un multiple de 2w ; donc, en désignant par oo l'un quelconque des angles que peuvent faire les directions données, on a

(i>=:=a-h2tz,

/: étant un entier quelconque positif, négatif ou nul. Tous ces angles ont les mêmes lignes trigonométriques.

ir

164 GÉOMÉTRIE ANALtTIQUE.

IM. Pjrojeca^a ortiioffoiuae* — Théorème II. — La projection orthogonale d'un segment de droite AB est égale en grandeur et en signe au produit de ce segment, pris avec son signe, par le cosinus de r angle que font la direction positive du segment et la direction positive OX de Vaxe sur lequel on projette»

l^** cas, — Supposons que» le segment AU étant positif, sa direction fasse avec la direction positive OX un angle aigu a (fig. 118).

Menons par A et par B les plans projetants P et Q perpendiculaires à X'X, qui coupent X'X en a et b, et par A la droite AX| parallèle à OX et de même sens; cette droite rencontre le plan Q en B', et puisque Tangle a est aigu, AB et AXj sont du même côté du plan P; donc

proj''»(ÂB) = Âr = âJ

et ces segments AF et ab sont positifs.

Hais dans le triangle rectangle AB'B on a

FifiT. 118.

donc aussi ou

AB' = ABcosa

ab =-• AB cos %

prof" (ÂB) =ÂB cos a.

2« cajs, — Supposons que, le segment AB étant encore positif, sa direction fasse avec la direction positive OX de Taxe de projection un angle obtus a (fig. 119). Menons encore les plans P et Q perpendiculaires à X'X et AXj parallèle à OX et de ' même sens ; langle oc étant obtus, les droites AB et AX| sont situées de part et d*autre du plan P, donc la projection de AB, c'est-àdire afe, est dirigée à partir de a dans le sens OX'. Donc

inr

Fijf. 119.

proj«" (ÂB) = — aft = ~ AB'.

Mais dans le triangle rectangle AB'B on a

AB' = AB cos B' AB = — AB cos a,

donc

PRÉUMOAIRES.

proj<« (Xb) = — AB' = «ï =ÏB cos a.

3« ca$. — Supposons enfin le segment AB négatif. Spit l'axe Z'IZ sur lequel est. compté ce segment, IZ' étant le \

sens négatif (fig. 120).

Menons à partir de A la ligne AX^ parallèle à OX et de même sens que OX, a étant l'angle géométrique aigu ou obtus que fait avec AX, la direction AB ; d après les deux cas précédents, si le segment AB était dirigé dans le sens positif» on aurait

proj*"* (AB) = AB cos a

mais

Fig. 120.