KL
et désignons par «, p, y, . . . X les angles des directions positives de chaque segment avec la direction positive de l'axe de projection ; on aura, d'après le théorème des projections et le théorème III (n^ iM, tu et te»),
proj*»" (IL) = a cos a -h fr cos p . . . -f- / cos X
et si Ton désigne au»si par r la valeur algébrique de la résultante IL, et par p Tangle que fait sa direction positive avec OX,
r cos p = a cos a H- 1 cos p . . . -h / cos X = 2 (a cos a).
Et si le contour polygonal est fermé, c est-à-dire si le point L coïncide avee le point I,
2 (a cos a) = 0.
EXERCICES
1 . Trouver sous quelles conditions la projection d'une ligne polygonale sur un axe X'X peut être nulle.
2. Démontrer que, pour qu'une ligne brisée plane soit fermée, il faut et il suffît que les projections de ce contour polygonal faites parallèlement à deux directions distinctes et sur deux axes diflërents situés dans son plan soient nulles Tune et l'autre.
5. Démontrer que, pour qu'un contour polygonal gauche soit fermé, il faut et il suffit que les projections de ce contour faites parallèlement aux trois faces d'un trièdre sur trois axes différents soient chacune nulle.
4. On donne un contour polygonal ABC... KL dont la résultante est AL et un axe de projection X'AX dont la direction positive AX fait avec AL un angle 6. Trouver dans l'espace le lieu géométrique des axes tels, que la
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projection du contour polygonal soit la même sur chacun d'eux. — Cas où Tangle est droit.
5. On projette un triangle équilatëral sur une droite quelconque tracée dans son plan. Calculer Tangle que cette droite doit faire avec Tun des côtés du triangle pour que la somme des cubes des projections soit nulle.
6. Démontrer que la somme des n~ puissances des projections des côtés d'un polygone régulier sur un axe quelconque situé dans son plan est nulle quand l'exposant n de cette puissance est impair et inférieur au nombre des côtés du polygone.
7. Un polygone régulier de n côtés étant inscrit dans une circonférence de rayon r, on trace les cordes qui joignent un point quelconque M de la circonférence à tous les sommets du polygone. Démontrer que
!• La somme des carrés de toutes ces cordes est égale à 2nr« ;
2* La somme des quatrièmes puissances de ces cordes est égale à 6nr^.
8. On donne trois axes OX, OY» OZ menés à partir du point dans un
même plan, soient iOZ = a, ZOX=p, XOY = Tf. Démontrer qu'on a toujours entre les cosinus de ces angles la relation
cos* a -f cos« p -f- cos* Y — 2 cos a cos p cos t = l •
9. Démontrer que la somme des carrés des projections orthogonales d'une longueur OH sur deux axes rectangulaires OX, OY est constante quelle que soit la direction de OM.
iO. Démontrer que la somme des carrés des projections orthogonales d'une longueur OM sur trois axes rectangulaires OX, OY, OZ est constante et égale au carré de OM.
il. Démontrer que la somme des carrés des cosinus des angles que fait une droite OM avec trois axes rectangulaires quelconques est toujours égale ai.
12. Démontrer que la projection de Taire d'un triangle sur un plan est égale à l'aire de ce triangle multipliée par le cosinus de l'angle des deux plans.
13. Étendre cette propriété à la projection d'une figure plane quelconque.
■ 14. Démontrer que la somme des carrés des projections d'une aire plane sur trois plans rectangulaires quelconques est égale au carré de cette aire.
