MF" = FF

et le triangle rectangle HPF' donne de même

MF'' = F'P*-f-PM'

Or, suivant que le point M est au-dessus ou au-dessous de X'X, on a y = -f-PM ou y = — PM; donc dans tous les cas, y' = PM*.

D'ailleurs, si nous traçons OM, FM est la résultante du contour FOM, et F'M est la résultante de F'OM. Donc, d'après le théorème des projections {n^ i«s), on a toujours

FP = proj " (FM) = proj^» (FO) -+- proj«» (OM) z= — c + x FT == projo» (F'M) = proj«" (FO) -h proj»» (OM) = h- c -f- a:

Car le segment FÔ est parcouru dans le sens des x négatifs, et le segment F'O dans le sens positif; donc les égalités [1] et [2] deviennent

[il M' = (x-cy^y'

[2] W'=(T-hcy-^y'

Retranchons membre à membre

MF' — MF' = (x+c)»— (x— c)»==4cr c'est-è-dire

(Mf ' — MF) (MF' -f- MF) = ic£

Mais, d*aprës la définition,

[S] . MF' -f- MF = 2a

donc

[4] MF'~MF = i^== —

En additionnant et retranchant les égalités [5] et [4], on a donc

MF' = a-+-- MF = fl — — a a

Si enfin nous substituons Tcxpression de MF.dans Fégalité [1], nous obtenons Tèquation

5fais par hypothèse on a a>c, a} — c* est donc positif; posons a} — c' = fc', Téquation devient

ou, en divisant tous les termes par fr*,

C'est Y équation de VelUpse rapportée au système d'axes que nous avons choisi.

GÉOMÉTRIE ASALYTIQiE.

iM« IlIspositloB générale de l'ellipse déduite de son équation. — L'équation trouvée [E] met immédiatement en évidence les propriétés générales de la courbe.

Si on la résout par rapport à ^, on a

Donc y n*est réel que si û* — x* est > : ce qui impose à x la condition d'être compris entre — c et -h a ; la courbe est donc limitée dans le sens des x positifs et dans le sens des x négatifs, et comprise tout entière entre les parallèles AZ, A'Z'. Déplus, à chaque valeur de .r, a: = OP, comprise dans cet intervalle, correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires : donc deux points M et M' de la courbe symétriques par rapport à X'X. — Pour ^ = a et pour x = — a, on a y = ; ce qui donne les points A et A'. De même, en résolvant par rapport à x, on trouve

x = ±-^sjb'-y^

ce qui montre que la courbe est comprise entre les parallèles BV, B' V menées à X'X par les points B et B' qui ont pour ordonnées -H b

et — 6, et qu'à chaque ordon- ^ ,z "ée OQ comprise dans cet

intervalle correspondent deux abscisses égales et de signes contraires; la courbe est donc encore symétrique par rapport à Taxe Y' Y (fig. 136).

Pour y=b et pour y= — b, on a a; = 0, ce qui donne les points B et B'.

Enfm, si on prend le point H''' symétrique de M par rapport au point 0, l'égalité des triangles OMP, OM'"P' montre que les coordonnées de ce point sont égales et de signes contraires à celles du point M; donc elles vérifient l'équation comme les coordonnées du point M. La courbe a donc pour centre le point 0.

On déduit aiiisi de l'équation les propriétés déjà connues parla géométrie.

tWQ. Hyperbole. — Équation de la eonrbe. — Lhyperbole est le lieu des points du plan tels^ que la différence des distances de chacun d'eux à deux points fixes appelés foyers est constante.

Prenons encore pour axe des x la ligne des foyers, dont nous désignons la distance par 2 c et pour axe des y la perpendiculaire élevée au milieu de FF'; soit 2a la diflerence des distances d*un point quelconque M de la courbe aux deux foyers (fig. 157).

On aura donc

MF' — MF = 2a

suivant que le point considéré est plus rapproché de F que de F', ou plus près de F' que de F.

Dans Tun et Tautre cas, pour que le triangle MFF' ou le triangle M' FF' existe, il faut qu*on ait

2c>2a donc c>a Raisonnant comme pour Tellipse, on voit qu*on a pour un point M

[11 JW^ [2] MF^

\r =FP*-f-PM» = FF*-i-î/« )

Mais

PP == proj<»» (F'M) ±= proj«» (F'O) -h proj**» (OM) =c+x FP = proj*» (FM) = proj«» (FO) -h proj*^» (OM) ^z — c-^x donc

MF"'*-MF* = (c + x)* — (x — c)« = 4cx

ou, comme MF' — MF = 2a,

MF'H-MF = — a