I. - TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
I. Objet de la qaestion. — L*équatioQ d'une même courbe prend des formes différentes suivant qu*on la rapporte à différents axes de coordonnées
Ainsi on a vu (n^* 189) qu*en prenant pour axes deux diamètres rectangulaires, Téquation d'une circonférence est
ou
Si, prenant encore pour axe des x un diamètre OA, on choisit pour axe des y la tangente en (fig. 159), on sait que la perpendiculaire HP abaissée d un point quelconque de la courbe sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments OP et PA, c'est-àdire entre :r et 2r — x; on a donc alors x^" l'équation
ou
Fig. 159.
^*-*-y* — 2ra: = 0.
Si enfin la circonférence est placée d'une manière quelconque par rapport à deux axes rectangulaires, soient a eib les coordonnées du
centre, x eiy celles d'un point quelconque H de la courbe. Traçons
le contour de ces coordonnées OPM et menons par le point C la parallèle à X'X iM(arv) ^^' coupe PH en H. Quel que soit le point tl, on a toujours dans le triangle rectangle CHM (fig. 160)
îco
Fig. 160.
Or, en projetant sur l'axe X'X la ligne brisée cD H- ÛM et sa résultante CM, on a
CH = AP = projo» (CM) = proj«» (CO) -4- proj«» (OM) = — a -h x,
et en projetant sur Taxe Y'Y on a de même
ÎÎM = proj»» (CM) = proj«» (CO) -f- proj^» (OM) = — b^y; •
par suite, en substituant dans la première égalité, on obtient Téquation
(x—ay-^(y — by = ry
Ces trois équations [1], [2], [Tt] représentent la même circonférence de rayon r, suivant le choix des axes de coordonnées; la première est évidemment la plus simple. On comprend qu'il y aura souvent avantage à remplacer une équation par une autre en définissant avec précision la position des nouveaux axes par rapport aux anciens; cela permettra soit de simplifier Téquation, soit de faciliter Tétude de la courbe.
Soit
réquation d'une courbe ÂB par rapport à un premier système de coordonnées OX, OT.
Si nous établissons des formules qui permettent d'exprimer les coordonnées .r, y d'un point quelconque M du plan dans ce système, en fonction des coordonnées x,, y^ de ce même point par rapport à un nouveau système d'axes, OgXi, 0|Y|, en substituant ces expressions k X eiy dans l'équation [C], nous obtiendrons la nouvelle équation
