TIU^'SFORMATION DES COORDONNÉES
de la courbe AB rapportée aux nouveaux axes de coordonnées
Nous décomposerons le problème en deux parties :
i* Changer l'origine des coordonnées, en prenant de nouveaux axes respectivement parallèles aux axes primitifs et de môme sens;
2» Faire tourner les axes autour de Torigine*
Fig. Ifâ.
l de rorifflne. — Soit X'X, Y'Y ^''^' ^***
un premier système d axes dont lorigine est 0, et soient X/X,, Y/ Y^ les nouveaux axes respectivement parallèles aux premiers et de même sens ; la position de ces axes est complètement déterminée si on donne les coordonnées a, h de la nouvelle origine, puisque, ce point étant connu, la direction et le sens des axes positifs 0,X|, 0|Y| sont bien définis (fig. 162).
Soit H un point quelconque du plan, x^ y ses coordonnées dans le premier système, ar^, y^ ses coordonnées dans le second; traçons le contour 00|H, sa résultante OM, et projetons-les sur Taxe X'X, parallèlement à y' y.
On a
proj»« (OM) = proj«» (00,) -+- proj«» (0,M)
Mais la projection de OM sur X'X est en grandeur et en signe l'abscisse X de M, la projection de ÔÔ^ est de même en grandeur et en signe Tabscisse a de 0,, et la projection de 0|M sur X'X ou sur sa parallèle X'|X| est Tabscisse nouvelle Xi du point H; donc on a la formule
Si Ton projette sur Taxe Y'Y parallèlement à X'X, on a de môme -[2] " y = h^v,.
Telles sont les deux Tormules qui permettent de changer Forigine en conservant la direction et le sens des axes.
Ces formules s'appliqueraient alors même que les deux systèmes d'axes seraient obliques.
t05. Exemple, —t Nous avons montré (n* tos) que Tëquation d*un cercle dpnt le centre C a pour coordonnées atib (fig. 160) est
{x — aY-\-(y-^bY = rK
Si on transporte Torigine des coordonnées en ce point C, on devra remplacer x par a-f-ar^ y par h + y^, et Téquation précédente devient
on retrouve ainsi Téquation rapportée à deux diamètres rectangulaires.
I. Transfonmitloii luTerse. — Si On résout par rapport à âTi et y^ les formules [1] et [2], on en tire
i x^ = x — a formules qui permettent de revenir du nouveau système à Tancien.
MV. Deaxiéme transfomuitloii» — Chaiiffenieiit de 1a dlreetlon des axes. — Supposons maintenant qu'on change la direction des axes en conservant la même origine, et bornons-nous au cas où les deux systèmes d'axes sont rectangulaires. Si on fait tourner l'axe positif OX d'un angle droit pour l'amener sur l'axe positif OY, le sens de ce mouvement est le ^ns positif des rotations autour du point 0.
Imaginons que le nouveau système d'axes coïncide d'abord avec l'ancien, les axes *^ positifs des x et des y étant respectivement -«- superposés les uns aux autres, puis faisons tourner d'un angle quelconque a l'axe positif des Xj qui vient alors occuper une position nouvelle 0X|, l'axe positif des j^ tournant en même temps du même angle et dans le même sens : l'angle que fait
avec OX cet axe 0Y| dans sa nouvelle direction est toiyours ot + s-
Fig. 163.
TRANSFORUTIQ^ DES COORDORMÉES. 201
Soit M un point quelconque du plan; traçons le contour OPH de ses coordonnées x^ y dans le premier système, et le contour OP|H de ses coordonnées x^, y^ dans le système nouveau. Ces deux contours ayant la même résultante OH, les projections sur un aie quelconque sont égales (n<" tes, i«S, 169) (fig. 165) :
projo» (OP) H- proj« (PM) = proj« (OP.) + proj- (P^ M) .
'Projetons-les d*abord orthogonalement sur Taxe X'X; on a, d'après le théorème III (n^* !••) sur les projections orthogonales,
proj<« (OP) =r X, proj«"(PM) == y cos ^ = 0, proj«»(OP,)= J?iCos a, proj°° (Pj M) = j/i cos (OX, OY,) = y, cos U -h | j = — yi sin a.
Car, en amenant ÔX successivement sur 0X„ puis sur 0Y|, l'angle de rotation est a-i-^» donc
[i] 5? = ar| cos a — yi sin a.
Projetons orthogonalement ces deux contours sur l'axe Y'Y, on a de même
proj«« (OP) = a: cos| = 0, proj<«(PM) = y,
proj»» (OPi) = Xj cos (OY, OXi) = a:, cos (— ^ -h a j = ;r, sin a.
Nous ramenons 0\ d'abord sur OX par une rotation de l'angle — ç» puis de OX sur OX,, en faisant tourner de l'angle a :
jo« (P^M) = y^ cos (OY, OYj) = y, cos (— | + a + y == y^ cos a.
proj'
nous ramenons en effet d'abord OY sur OX, puis nous amenons OX sur OYi- De là la deuxième formule
[2] y = a:| sina + j/icosa.
' Les formules qui permettent de faire tourner les deux axes ree^Angulaires d*un angle a autour de Forigine sont donc :
[1] x = XiCostL — yisinoc, [2] y = x^ sin a .+ y^ cos a.
Ces formules supposent essentiellement que l'ancien et le nouveau système d'âxes sont rectangulaires.
M9. Transfonnatlon iiiTerse. — Pour revenir du nouveau système d'axes à l'ancien, il suffit de résoudre les équations précédentes par rapport à x^ et y^ ; on élimine y^ en multipliant l'équation [1 ] par cos a, l'équation [2] par sin a et additionnant, ce qui donne
aTj = a: cos a -h y sin a ;
on élimine x^ en multipliant l'équation [1] par sin a, l'équation [2] par cos a, et retranchant ; on a ainsi
yi = — a: sin a -f- y cos a.
On peut aussi déduire immédiatement ces formules des formules [1] et [2] en y permutant x et arj, y et y^ et remplaçant l'angle a par — a.
909. Cas particulier. — Chani^eineiit du sens des «oordoanécs posltiTes. — Si dans les formules [1] et [2] on suppose a = 17, le nouvel axe positif des x prend la direction OX' et le nouvel axe positif des y se dirige suivant OY'; les formules donnent alors, puisque sin :r = et cos t: = — 1 ,
On voit donc qu*il suffit dans l'équation de la courbe de changer ar en — x et y en — y. — En faisant un seul de ces changements, on change le sens positif d'une seule coordonnée.
ÔTÔ
Fig. 161.
SiO« Fommles pour cban^crlbla fols rorlfflne et la dlreetlon dM axes de eoordomées. -**« Soient deux systèmes rectangulaires XOY, X,0,Y, tels que si, en faisant glisser le deuxième sur le plan, on amène Taie positif 0^% à coïncider avec OX,
