TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. SOS

l'axe positif 0,T, vienne en même temps s*appiiquer sur Taxe posi» tif OY et non sur son prolongement (fig. 164).

Menons par le point 0, les axes 0,X|, 0, Y| parallèles à OX, OY et de même sens.

a et 6 les coordonnées du point 0, par rapport à OX, OY, Soient ) ^ ®' ^ celles d'un point H par rapport à OX, OY,

Xi et.^i celles du point H par rapport à 0,X|, 0|Y|,

X, et y, celles du point M par rapport à O^X^, 0,Y|.

On aura d'abord, pour passer du système XOY au système XiO,Y|,

[Il ) "^ ^ ? "^ ^' (formules n*» ta4).

Puis, pour passer du système X|0|Y^ à X,0,Xt,

[„3 jx. = :r.co8«-y.sin« (formules n» tOt).

-' ( yi = a:,8ma-f-y,cosa ^ '

Et, en substituant dans la formule [I] les expressions de x^ et yi tirées des formules [II], on a les formules :

I ii|1 \ X = a -h X, cos a — y^sin OL

/ y = 6 4- ar, sin a H- j/,cos a

qui permettent de passer d'un système rectangulaire à un autre également rectangulaire et d'origine quelconque. — Remarquons que ces expressions de x et y sont entières, rationnelles et du premier degré par rapport aux nouvelles coordonnées x^y^; en un mot ce sont des expressions linéaires.

tii. Application. — THÉORÈME. — La somme des carrés des coordonnées d'un point M dans deux systèmes rectangulaires de même origine est constante.

Prenons en efTet les formules [II]

j: = a:jCOsa — ^tSina y = X| sin a -h y, cos a

Si on élève au carré et si on additionne, on a

C*est qu*en effet chacune de ces sommes est égale au carré de la résultante OH.

Si». Exemple. — SlmplMcatlon de ré««atl4M d'i par «n chaMgcnieBt de coevdoanée**

On donne Téquation

or» ^- y« — 8x -h 4y -H 16 = 0.

Cette équation n*étant pas homogène, remplaçons x par - et y

par-; elle devient a

x*4-î/' — 8£u:-|-4ay4-16a* = 0;

puis transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en prenant

pour nouvelle origine le point O^, dont les coordonnées sont a = 4a, p = — 2a (fig. 165).

On devra écrire

y== — 2a-|-yi x = 4a -4-^4

Fig. tes. cl l'équation devient

(x4 4-4a)«H-(y4 — 2a)» — 80(0:4 -4-4a)4- 4a (yi — 2a)H-16a» = ou, en faisant les réductions,

Ce qui montre que l'équation donnée représente une circonférence de rayon 2 a située au-dessous de OX et tangente au point A dont Tabscisse est 4a.

Dans Téquation donnée primitivement, où ne figurait pas la lettre a, on prenait pour unité la moitié du rayon.