II. — DISTANCE DE DEUX POINTS
SIS. l^'' cas. — DlsUmee de rorifrlae * mn point du plmn. —
Soit H un point dont les coordonnées sont X et y (fîg. i66); désignons par d la distance OM, par a Tangle que fait la droite OH avec OX et par p Tangle qu^elle fait avec OY. En projetant orthogonalement le contour OPM et sa résultante OH successivement sur OX, sur OY et OZ, on a toujours, quels que soient les signes de a? et de j^ :
Fig. 166.
x = d cos a
J/ =: <i COS p
X cos a -h y cos p = df
et si on élimine cos a et cos ,Ô entre [i], [2] et [3], on en déduit
donc
d = sjx^ -h y*.
Si 4. 2' cas. — Dtstence de deux points qneleonqoes du plan.
— Soient deux points M (:r, y) et M' [xf, y') (fig. 167).
Prenons le point H' pour nouvelle origine, et soient x^y^ les coordonnées du point M par rapport aux nouveaux axes M'X„ H'Yi; M'M étant la distance de Torigine au point H, on a, d*après la formule du cas précédent,
Fig. 167.
Mais, en revenant de nouveau à Tancien système, on sait (n*" S06) que Fexpression des coordonnées nouvelles x^y^ du point H en fonction de ses coordonnées anciennes x et y ci de celles du point M' est
Xi = x — x'
yi=» — y'
donc l'expression de d* devient
d'où
SIS. Éqiuitloa yénérale [d*«it« elreoiiférence «n coorda
Mctencvlatres. — Si nous désignons par a et b les coordonnées du centre, X eiy étant celles d'un point quelconque ^^^'^' de la courbe, le carré de la distance CM If;) (fig. 168) est
en exprimant qu'il doit être égal au carré jf du rayon, on a l'équation de la circonférence
yj ô
Fig. 168.
(x — a)* -f- (y — by = r*.
Nous retrouvons ainsi Tëquation établie directement au n^ tos.
•••. Relation entre les coelnns des anifles que fait «ut axe qneleonqne OZ avee denx axes de coordonnées reetangnlalres.
— On a VU (n^ »iS) que, quels que soient les angles que fait l'axe OZ mené à partir de l'origine avec les axes de coordonnées positives OX et OY, on a toujours les relations
x = d cos a
y = ci COS P
X COS a H- y cos p = d
ou
Si entre ces équations on élimine x et y, on a la relation générale d cos* a.-h d cos* p = d cos' a -f- cos* p = 1 ,
TRArVSFORMATION DES COORDONNÉES. SOT
g ni. — CLASSIFICATION DES LIGNES PLANES. ^ THÉORÈMES GÉNÉRAUX.
9JV. Covrbes ali^ébrlqiies et eovrbes transeendaBle*. — Une
ligne plane étant représentée en coordonnées rectîlignes ou cartésiennes, est dite algébrique ou iranscendante suivant que son équation est elle-même algébrique ou transcendante. Une équation est algébrique quand les coordonnées :r et 2^ n*y figurent que soumises aux opérations de Tarithmétique, addition» soustraction, multiplication, division, puissances et racines dont les exposants ou les indices sont connus.
Une pareille équation peut toujours être mise sous forme rationnelle et entière en faisant disparaître les radicaux et les dénominateurs.
Toutes les équations des courbes que nous avons étudiées jusqu'ici sont algébriques.
Mais si les variables x et y figurent sous des signes transcendants, tels que stnus, cosinus, logarithme, vanable écrite en exposant..,, Téquation est transcendante.
Ainsi les lignes qui ont pour équations
y = sinx, y = Ungj:, y = \ogx, y = a*,, â; sin 2( = J/ tang j:,
sont des lignes transcendantes.
%t%. ClassIflcattoB des lignes •Igébrlques snlTAiit leur degré. — On peut toujours, en rendant une équation algébrique, entière et rationnelle par rapport aux variables x et y, puis écrivant tous les termes dans un même membre, ramener cette équation à la forme
Suivant que le polynôme f[XyXj) entier et rationnel est du !•', du 2", du 5*, du m* degré par rapport aux variables x et y, nous dirons que la ligne correspondante est elle-même une ligne du !•', du 2«..., du m« degré.
Hais, pour que cette classification soit admissible et raisonnable, il faut que la nature d*une équatioa et son degré, quand elle est algébrique, ne dépendent pas du choix des axes de coordonnées auxquels on rapporte cette ligne.
»!•. THéoRÈME L — Si réquation d'une ligne rapportée à un premier système de coordonnées cartésiennes est algébrique, cette équation reste algébrique quand on la rapporte à un autre système de coordonnées cartésiennes ; si Véquation est transcendante dans le premier sy^ème, elle reste transcendante dans le second.
En effet, 1<» si dans le polynôme algébrique f{x, y) on remplace 4? et j^ en fonction des coordonnées nouvelles, nous avons vu (n^ •!•) que ces expressions sont entières et rationnelles par rapport aux nouvelles variables ^1,^1; elles sont de W forme
rjlll I X = a -f- mx^ + ny^
donc» :r et j^ n*étant soumis à aucun signe transcendant dans le polynôme f(x, y), x^ et y^ ne seront pas non plus soumis à de pareils signes.
L*équation restera donc algébrique après sa transformation.
2« Si l'équation rapportée au premier système d*axes est transcendante, elle ne peut devenir algébrique en passant à un autre système de coordonnées rectilignes, puisque en revenant du deuxième système au premier elle devrait d*algébrique devenir transcendante, et nous venons de voir que cela n*est pas possible.
tto. Théorème II. — Le degré de réquation dum ligne algébrique ne change pas quand on change la position des axes de coordonnées.
En effet, les formules (III) étant du premier degré par rapport à ^1 ^t yi, en les substituant ù j; et j^ dans le polynôme /{x, y), le degré de ce polynôme ne peut pas s'élever, car x^=.-{a-hnix^-hnyi)\ par exemple, est au plus du degré 2 par rapport à x^ et yi.
Le degré ne peut pas non plus s'abaisser, car alors il devrait s*élever en faisant la transformation inverse.
La nature d'une équation algébrique ou transcendante, et son degré quand elle est algébrique, ne dépendent donc pas du choix des axes, mais de la nature même de la ligne que l'équation représente.
S9I. Équation représentant nn système de lignes. — Si le
premier membre d*une équation
f(x,y) = peut se décomposer en un produit de deux facteurs
ce produit pouvant s'annuler, suivant qu'on égale à zéro l'un ou
THOSFOBMATION DES COORDON'NÉES. *i'Jj
l'autre facteur, Téquation se décompose en deux, et représente l'ensemble des lignes qui ont respectivement pour équations
ttt. IVombre des points cominiins A une llf^ne algébrique et A une droite du plan. — Théorème IIL — Une ligne de degré m ne peut avoir avec une droite du plan plus de m points communs^ à moins que cette droite ne fasse partie du lieu représenté par r équation.
Soit Téquation du degré m
Prenons la droite donnée D pour nouvel axe des x, Téquation de la ligne donnée devient
et elle est encore du degré m.
Pour avoir les points communs à cette ligne et à la droite D, il suffit de faire Y = dans Téquation [2], qui devient
équation algébrique qui est au plus du degré m par rapport à X et a par suite, au plus, m racines réelles ou imaginaires conjuguées.
Si le coefficient du terme en X"* est nul, l'équation [2] a une racine infinie et s'abaisse au degré m — 1, un des points de rencontre de la droite D et de la courbe s*éloigne indéfiniment. — Le degré d'une courbe caractérise donc le nombre de points où une droite peut la couper.
ttS. Remarque. — Cas oA Téquatl^n se réduit A une Identité.
— Si, en prenant la droite D pour axe des x^ l'équation donnée est de la forme
Yç(X,Y) =
en y faisant Y = 0, elle se réduit à une. identité, vérifiée pour toute valeur de x.
Mais alors Téquation donnée se décomposant en
représente à la fois la droite D elle-même et une autre ligne dont le degré est inférieur à m.
LAUMAY. — COXPL. d'aI.C, 14
^{0 GÉOMÉTRIE ANALYTIOIE.
S94« Corollaire. — Llgae r^prémentée par miie équation dv premier de^ré. — Une équation du premier degré ne peut représenter qu'une ligne droite, car c'est la seule ligne qui ne puisse? être rencontrée par une droite quelconque du plan en plus d'un point.
Si l'on Fe reporto aux équations des différentes lignes étudiées jusqu'ici» on voit que
la circonférence ] l'ellinse f
riivDerbole i ^^"^ ^^^ courbes du deuxième degré,
la parabole )
la cissoïde j ^^^^ j^ troisième degré,
la strophoide )
Un faisceau de deux, trois lignes du premier degré peut constituer aussi un lieu géométrique soit du deuxième, soit du troisième degré.
9SS. Condition poor qoe deux équations al^brlqnes dn même degré représentent la même ligne, rapportée ans mêmes axes de coordonnées. — TuÉORÈME IV. — Pour que deux équations algébriques du même degré représentent la même ligne rapportée au même système d*axes, il faut et il suffit que les coefficients des termes semblables soient proportionnels,
Bornons-nous à deux équations du deuxième degré, la démonstration est la même quand le degré est plus élevé.
Soient
[1] Aar«-f-2Bxy-l-Cî/* + 2Dx4-2Ey-hF=^0
[2] AV -4- 2Vxy -h Cy -f- 2D'.r -f- 2E'j/ -f- F' =
Ordonnons ces équations par rapport à y,
[\] Cy«H-2(Ba:-hE)y-|-A.r» -4-2Djc-f-F3^-0
[2] Cy -h 2 (Wx -f- E') y -h A V H- 2 D'x -h F =
1» Si elles représentent la môme courbe, à une valeur donnée de x, x=^^, d'ailleure quelconque, doivent correspondre les mêmes
