TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

Taleurs de y; donc les équations [1] et [2] doivent avoir tous leurs ternies proportionnels, c'est-à-dire

C'"~B'a-t-E'"'AV4-au'a-hl!''~" '

en désignant par k la valeur commune à ces trois rapports. Donc

(B — B'A)a4-(E — E'A) = 0, {A — A'A)a«4-2(D — D'Â:)»-|-F — Pifc = 0.

Et cela doit avoir lieu quel que soit a; donc les coefficients des différentes puissances de a doivent être nuls, ce qui donne

C — C'k = B — B'fc = E — E'* = A— A'A = D — D'it = F — FA =

ou enfm

2<* Réciproquement, si tous les coefficients sont proportionnels, on tire des égalités précédentes :

A = A'* B = B'A C = C'k h = Wk E = Wk ¥ = rk

et Téquation [1] se réduit à

k(k'x^ -+- Wxy 4- Cy 4- 2D'x -H 2 E'y -f F') = ;

et comme A*d=0, il reste Téquation [2]; donc les deux équations données, se réduisant Tune à l'autre, représentent bien la mêmi^ courbe.

2t«. Polats commiuis A deux lignes. — THÉORÈME V. — Les coordonnées des points communs à deux lignes sont les solutions en x et y communes aux équations de ces lignes.

î>l3 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Si on eflet deux lignes ÀB» CD (fig. 169) ont respectivement pour équations

les coordonnées x ei y de tout point U commun à ces lignes doivent vérifier simultanément les équations [1] et [2], X Et réciproquement, si on trouve une solu-

Fi^, 169. tion X = a, y = hy commune à ces deux

équations, le point du plan qui a pour coordonnées a et & doit se trouver à la fois sur ces deux lignes.

tty. lilgiiie |MM««ii( par les points eommuns h deux llgines données. — Théorème VI. — Si on additionne les équations de deux lignes^ après les avoir multipliées respectivement par des fadeurs constants finis mais quelconques, Véquation nouvelle ainsi obtenue représente une ligne qui passe par tous les points communs aux lignes données.

Soient en effet les équations de deux lignes

fi]

[2] formons Téquation

XA^tî^)H-p.t(^»y) =

les coordonnées de tout point commun aux lignes [IJ et [2] annulant simultanément les polynômes f(x,y) et <p(a:,y) vérifient Téquation [3] ; donc la ligne représentée par cette dernière équation passe bien par tous les points communs aux deux premières.

EXERCICES

1 . A quoi se réduisent les formules pour le changement de directiou (les axes, quand on fait tourner ceux-ci :

!• de Tangle A

2« de Pangle ^ ?

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. îliS

!2. On donne l'équation

s^ + y* — ax ^ — ay = Q.

Faire tourner les axes rectangulaires de Tangle ^ dans le sens positif, puis

transporter l'origine des coordonnées au point dont les coordonnées sont X = a, Y = 0, et reconnaître ainsi la nature et la position de la courbo que représente l'équation donnée.