OF

Ea raisonnant comme prëcédemment, on voit que tous ces points appartiennent ù une droite CD passant par l'origine et réciproquement. 4« cas. A ^ 0, B 7^ 0, C # 0. — Une équation complète du premier degré représente une droite.

En effet, résolvons par rapport à y, ce que Ton peut faire, puisque B7<^0;réquation

Ax-+-By-+-C = devient

ou en posant

y^mx-^p

y eix désignent des longueurs, m est un coedQcient numérique positif ou négatif, et p désigne une longueur affectée d*un signe.

Prenons à partir du point sur Taxe Y' Y un segment OP d'une longueur égale à la valeur absolue de p et dirigé dans le sens OY ou le sens OY', suivant que p est positif ou négatif (fig. 175).

Prenons le point P pour nouvelle origine, l'équation

y = mX'hp

devient

' p = mx^ -f-jo

[2] yi = mx^;

donc, d'après le cas précédent, elle représente une droite CD passant par le point P.

D'ailleurs, traçons par le point la droite CD' qui, rapportée à OX, OY, a pour équation

y = mx

Dans les équations [1] et [3J, donnons à X une même valeur a, soient b et V les valeurs correspondantes de y, on a

V = ma

Ainsi, en ajoutant à l'ordonnée b' d'un point quelconque M' de CD' ta valeur algébrique de;;, on obtient l'ordonnée b du point H do CD qui a môme abscisse que H'; par suite lee deux droites €Dt G' D' sont parallèles.

(Voir l'étude de la fonction du premier degré n^ 1I4.)

tM. Théorème II. — Réciproquenitent toute droite est représentée ]»ar une équation du premier degré.

En eiTel, soit une droite CD placée d'une manière quelconque dans le plan de deux axes rectangulaires OX, OY (fig. 170). Prenons un autre système d'axes rectangulaires Oj X^, 0, Y,, le nouvel axe des a: coïncidant avec la droite CD.

Dans ce système de coordonnées, tous les points de Cl) ayant une ordonnée nulle quelle que soit leur abscisse, l'équation de CD est

Revenons maintenant au premier système : la formule qui exprime l'oixlonnée ^i* d'un point quelconque M de CD est une fonction linéaire des coordonnées x ci y de ce point M dans l'ancien système» c'est-à-dire que l'expression de ji est du i^' degré en a: et j^ et de la forme

f^, = Aj: H-By-f-C

L'équation [\] de la droite CD devient donc, dans tout autre système de coordonnées reclilignes, ,

[2] Ax-f-B?/H-C =

et par conséquent elle est toujours du premier degré.

tSO. Slginlfflcatloii des coefliclciits de Téqnatloii d'une droite. Déiiiiitioii*. — Supposons l'équation du premier degré résolue par rapport à y et ramenée à la forme

y = pix^ p.

La lettre p désigne le segment de droite compté sur Taxe des y, du point au point où la droite CD coupe cet axe; c'est Tordonnée du point où la droite coupe Y'Y. On l'appelle Vordonnée à Voriginc

lia lettre m est un rapport, qui dépend de l'angle que fait U droite CD avec Taxe X'X. On l'appelle le coefficient angulaire.

ÉQMATION DU PREMIER DEGRÉ. — l.lG^iE DROITE. 221

Le coefficient angulaire de l'équation d'une droite est douc'lecùefficient de x qtiand r équation est résolue par rapport à y, .

Si la droite CD tournant autour d'un de ses points, I par exemple» {fig. 175), devient parallèle à OY, les deux coeiTlcients m et p augmentent indëfinîment, car dans l'équation

\x-hBy^C =

si B tend vers zéro.

croissent indéfiniment.

tSi. Angle d'une droite D'D menée par le polnl avee Taxe posiilf OX. — Soient deux axes rectangulaires X'OX, Y'OY (fig. 177) ; si on fait tourner d'un angle droit le demi-axe positif OX pour l'amener sur le demi-axe positif OY, on détermine le sens direct ou le sens des isolations positives (n9 4t), le sens opposé étant négatif.

Soit une droite D'D menée par le point 0; on appelle angle de cette droite avec le demi-axe positif OX l'un quelconque des angles dont il faut faire tourner le demiaxe OX pour le faire coïncider avec \d droite. On peut toujours amener cette coïncidence en faisant tourner OX d^un ai^le positif «>, compris entre zéro et w, et tout autre angle a, amenant cette coïncidence, ne diffère de celui-ci que d'un multiple de tc; on a donc en général

k étant un nombre entier, positif, négatif ou nul, l'angle a, biei? qu'indéterminé, a donc toujours une tangente déterminée, car tang a = tang CD.

tSt. Ezpre«sion du eoefllelenl ani^nlalre d'une droite. —

Théorème. — Quand les coordonnées sont rectangulaires, le coefficient angulaire d'une droite est égal à la tangente trigonométnque de i'un quelconque des angles qu^ fait cette droite avec iaxe positif des x.

Soit une droite passant par l'origine des coordonnées. Son équation est y = mx.

322 GÉOUÉTRIE ANALYTIQUE.

Considérons la demi-droite OD située du même côté que OY par rappml à X'X, et soit co l'angle compris entre zéro et it que fait OD avec OX; deux dispositions se présentent suivant que OD est dirigée dans langle XOY, c est-à-dire m >0; ou bien OD est dirigée dans Tangle YOX', c'est-à-dire m<0.

1« Si m est positif, les coordonnées Tq, y^ d'un point H de OD (fig. 177) vérifiant l'équation, on a

:mx„

or donc

mais dans le triangle rectangle OMP