PM
•(jp = tangû>
PM=:ya etOP = Xo
VI = tang <o.
2"" Si m est négatif (fig. 178), prenons un point quelconque M {.^0, yo) sur 01), on a toujours
jo = PM x^ = — OV
/\ gp=tangPOM = tang(z— <i>)=— tangco
donc PM
— OP
= 4- tang c
donc dans l'un et l'autre cas le coefficient angulaire est égal à tango» et comme
tango) = (anga on a toujours
7iî = tangx
quel que soit celui des angles a que D'D fait avec OX. D'ailleurs, si la droite donnée ne passe pas par l'origine, son équation étant
y~mx-hp
la parallèle menée à cette droite par le point a pour équation
y=:mx
elle a donc le même coefficient angulaire.
tSS. TarlaUoB du coeflielciK «B^nlalre d'une droite qal toamc «vtoiur de rorisine. — Le coefficient angulaire étant toujours égal à tang a est une fonction continue de l'angle que fait la
droite donnée avec OX, sauf pour les valeurs a = (2fcH- 1) ^i pour
lesquelles la tangente devient infinie et change de signe; d'ailleurs m est une fonction croissante de Tangle. Donc, si on fait tourner la demi-droite OD autour de Torigine, o> étant l'angle compris entre et Tz qu elle fait avec OX,
quand a> croît de Oà^ — s etde^-l-e h-::
m croît de à -H oo et de — oo 0.
tSd. Poslllons partieuliéres de la drolCe. — On Voit déjà que, si D'D coïncide avec X'X, son coefficient angulaire est nul, et quand D'I) coïncide avec Y' Y, son coefficient angulaire est infini.
Si D'D est dirigée suivant la bissectrice du premier angle des
axes, XOY, l'angle w valant j» on a m = i .
Et si D'D est la bissectrice du deuxième angle, c'est-à-dire de YOX',
l'angle co valant -j-» on am = — 1.
Les équations de ces bissectrices sont donc
et
tSS. Éqoatlon d'une droite en fonction de sa distance * l'orli^inc de» coordonnée» et de l'angle que feit avec OX la perpendienlaire me- pjg 179.
née de Tori^nc sur la droite. — La
position d'une droite D'D est déterminée quand on donne la distance OH = d de l'origine à cette droite et l'angle a que fait avec OX cette perpendiculaire OH abaissée de l'origine sur la droite (ûg, 179).
Soit M un point quelconque de la droite, x^ y ses coordonnées.
224 GÉOMÉTRIE ANALYTIQl E.
projetons orthogonalement sur l*axe OliZ le contour OPMU et sa résultante OH, on sait que
■ proj«» (OP) H- proj"» (PM) H- proj°" (MH) == proj"» (OH)
or on a toujours en grandeur et en signe
proj* 0? = x cos a proj*» PM = y sin x proj** MH = proj«" (OH) = d donc
T cos a -h y sin a = ri
G*est une équation entre les coordonnées d'un point quelconque de la droite et les constantes cteid qui la déterminent; c'est donc réquation de la droite.
tse. Droites parallèles. — Thkorôe. — Si deux droites sont parallèles, les coefficients des variables x et y dans leurs équations sont proportionnels, et réciproquement.
En eiïet les angles co, co' que font ces droites avec OX étant égaux, les coefTicients angulaires sont égaux.
Soient \ ^f'^^?'^^,.T^^ \ les équations des deux droites. ( A.r-|-l>2/-|-li ={) \
Leurs coefficients angulaires sont
donc
Et réciproquement, si cette condition est remplie, les coefficients angulaires sont égaux; donc les droites, faisant avec OX des angles u), <!>' égaux et de même signe, sont parallèles.
8SY. CiOnOLLAlRE. — ÉqoatloB séaéralc ûém parallèles * une direction donnée. — Si dans une équation du 1<^^ degré
Aar-f-By-hC^O
A et B restant constants, le terme C varie de — «à -hoc Téquation
représentera successivement toute la série des droites parallèles à la direction dont le coefficient angulaire est
Ainsi
X étant arbitraire, représente une parallèle quelconque à la bissectrice de l'angle XOY.
De même
représente une parallèle quelconque à la bissectrice de l'angle YOX'..
