II. — DROITES SATISFAISANT A CERTAINES CONDITIONS

tS8. Nombre des eoefOcleato dlstlncls dans réqaatlon d'one droite. — L'équation du !«' dôgré AxH-Py-hC = Orenferme trois coefficients, mais comme ils ne sont pas tous nuls, on peut toujours diviser par l'un d'entre eux et il reste deux coefficients distincts ou deux paramètres. — A cette propriété algébrique de l'équation correspond <îfette propriété géométrique qu'il faut deux conditions distinctes pour déterminer une droite, soit par exemple l'angle de la droite avec l'axe OX et son ordonnée à l'origine, soit encore, comme au n^ tS4, la distance de l'origine à la droite et l'angle que fait cette perpendiculaire avec OX,

tMBm Éqiuilloa générale des droites qui lussent par na polat doaaé. — Par un point donné peuvent passer une infmité de droites, l'équation n'est donc pas déterminée.

L'équation d'une droite est en général de la forme

[\] y = iLX-hX.

Soient a:', y' les coordonnées du point donné; pour que ce point P soit sur la droite, il faut que ses coordonnées vériflent l'équation, c'est-à-dire satisfassent à la condition

LAUXAT. — COMPL. d'aLG. 15

Cette condition dëtermine l'un des paramètres, par exemple X; en éliminant X entre Féquation [i] et Téquation de condition [2], on a

équation dans laquelle le coefficient angulaire (i est arbitraire; mais quel que soit le nombre fi, Téquation [3] représente toujours une droite passant par le point P, puisqu'elle est vérifiée pour x=x\ y = y'. Quand le coefficient p. varie, la droite tourne autour du point P.

Cette équation [3] peut représenter Tune quelconque des droites passant par P. En effet, on détermine une de ces droites en donnant un second point Q, différent de P, par lequel la droite devra passer; soient ^', y" ses coordonnées, on aura donc

!• Si la différences" — x' n*est pas nulle, on en tire une valeur finie et déterminée de {jl, et alors Téquation de la droite PQ est

2« Si a:" — x' = 0, comme le point Q est supposé distinct de P, y" — ^'^0, il s'ensuit que le coefficient angulaire fi de la droite PQ doit être infini; en effet, cette di^oiteest alors parallèle à OY.

En divisant par {jl les deux membres de Téquation [3], elle devient

et si Ton fait croître {jl indéfiniment, on a, à la limite,

Donc en faisant croître [jl d'une manière continue de — oo à et à -4- 00 , l'équation [3] peut représenter Tune quelconque des droites qui passent par le point P, et toutes les droites qu'elle représente passent par ce point.

Nous dirons que c'est Yéquation générale des droites passant par le point donné (a/, 2/').

MO. Ëqoatioii de la droite «ni pause par an point donné et

«•t parallèle ià vne direction donnée. — Ces deux conditions déterminent la droite; donner la direction de la droite, cest en eflet donner son coefficient angulaire; \l doit donc être égal à un nombre donné m, et Téquation est

Remarque. — Si, au lieu de donner m, on donne Tangle « que fait la direction donnée avec Ox» Téquation est

y — y^= {x — x') tanga Si par exemple

Ml . Ëqnntlon de In djrolte qnl passe pnr deux points donnés.

— Soient x\ y' les coordonnées dup reraier point; i", y^' celles du second.

Toute droite passant par le premier point a une équation de la forme

Puisque le second point est sur la droite, ses coordonnées z", y" doivent vérifier Téquation, ce qui donne la condition

qui détermine le coefficient angulaire de la droite

i* x"—x' cl par conséquent l'équation demandée est

que Ton peut écrire sous la forme plus symétrique X — .î/ y — y'

Mt. Corollaire. — CoefBclent aB^vlalre de la droite %|«l passe par deax points doaaés. — Le calcui précédent monlre que ce coefficieiit angulaire est

x'^ — af

c'est-à-dire égal au rapport entre la différence des ordonnées des deux points et la différence de leurs abscisses.

Si les ordonnées des deux points donnés? et Q sont égales, y" = j/', on a |4. = 0. — La droite PQ est parallèle à X'X.

Si les abscisses des deux points sont égales, x" = x!.

Alors |4. = 00 . — La droite PQ est parallèle à Y' Y.

M). Éqaatlon d*nne droite en ffonetlon des e€»ordonaées des points où elle reneontre les axes. — Si les deux points qui déterminent la droite sont l'un sur X'X, l'autre sur Y' Y (fig. 180), les coordonnées du 1" point A sont .r' = a, y' = o, celles du 2« point B :r" = o, y" = b; le coefficient angulaire de la droite est donc

et son équation est

ou, en transposant les termes,

Cette forme d'équation est fréquemment employée et facile à retenir.

S44. Problème I. — Construire nne droite dont on donne Téqnation. — 1" cas, — Si l'équation donnée contient un terme constant, on cherche les points où la droite coupe chacun des deux axes et on joint ces deux points (fig. 180).

Soit

Ax4-B?/-f-C =

pour y=:Oon aa = — j soit le point A,

pour x = on a b = -:-^ soit le point B,

et par suite la droite AB.

En remplaçant dans réqualion donnée A par — -» B par — ^»on

retrouve Téquation précédente

Exemples. — !• Soit Féquation 2x— 5t/ — 6 = (Og. 181),

pour y = a: = 5 pour a: = y = — 2

on a ainsi la droite CD.

2» Soit6a: + 2y = 9

poury = .r = - = 2

poura; = y = g=44-2

on a la droite EF. y,

2« ca$. — Si l'équation donnée n*a pas de terme constant, la droite passe par ^^^' ^^*'

Torigine, il suffît d'en déterminer un second point et de le joindre au point 0. Soit

5jc-+-7y =

Faisons dans Téquation a; = l, cela donne //== — -a; on construit

donc le point P qui a pour coordonnées 1 et — ■= et on a la droite OP.

Renarqoe. — Les équations numériques que nous venons d'écrire n'étant pas hoipogènes, nous avons dû, pour construire les droites, prendre une longueur particulière OA comme unité.

t4S. Problème II. — rolnt dlntenMetion de deax droite* données. Diaensslon. — Soient

Ax 4- By H- C =

les équations des deux droites données.

Si ces droites ont un point commun, ses coordonnées x e{ y

doivent Térifier simultanément les deux équations, et réciproquement (n^ tS6). La question revient donc à la résolution du système des équations [1] et [2], et nous allons interpréter géométriquement la discussion qui en résulte.

Discussion. — 1*' ca». AB' — BA'9fcO. — On sait que les équations admettent une solution commune et une seule, et Ton a pour x et y les valeurs finies et déterminées (Voir Éléments d'Algèbre par M. Dos» n~ i58 et Ètsm) :