AB'~BA' ^"~AB' — BA

Les deux droites ont alors un point commun unique à distance finie ^ 2« CM. — AB' — BA' = et AA'BB'^fc 0, c'est-à-dire qu aucun des coefficients des variables n*est nul.

Y ^^^ La condition AB' — BA' = peut s'écrire

alors

^ Elle exprime que les deux droites données ont le même coefficient angulaire (n^ tss).

y !• Si BC — CB' :5e 0, c'est-4-dire BC' i^ Œ

Fig. 182.

ce;

c'est dire que les ordonnées des deux droites à partir de l'origine

lesquelles sont égales respectivement à — g et — ^A sont inégales ;

donc on a deux droites PD, FD' non parallèles à OX, distinctes, passant respectivement par les points P et P et parallèles entre elles. Les expressions algébriques de j? et de y deviennent l'une et l'autre infinies; c'est qu'en eflet le point de rencontre des deux droites s'est éloigné indéfiniment des deux axes de coordonnées (fig. 182). 2» Si BC'— CB'=0, c'est-à-dire BC'=CB' ou

les ordonnées à l'origine sont égales, les points P et P' se confondent et les deux droites, parallèles à une même 4irection, coïncident.

Les expressions de x et de y prennent la forme ^- Il y a en effet

indétermination, puisque tout point de Tune des droites est commua â Tautre.

Les équations données ont en effet tous leurs coefficients proportionnels

donc elles représentent la môme droite (n* Ms).

3* cas. — AB' — BA' = et A =0. Ces conditions simultanées exigent que BA' = 0.

!• Si A=0 et A' = 0, les équations données se réduisent à

[i] By^C =

[2] B'y-hC' =

et représentent deux droites parallèles à OX distinctes ou confondues» suivant que BC' — Œ^O ou BC — CB' = 0.

Dans le premier cas, les équations [1] et [2J sont incompatibles; dans le second, elles se réduisent à une seule.

Le point de rencontre des droites est, ou rejeté à Tinfini sur Tune des droites, ou indéterminé.

5» Si A=0 et B = 0. L'équation [1] n a plus alors ni terme en x, ni terme en y.

Supposons C 9^: 0, on peut dire que quand A et B tendent vei's zéro, la droite s'éloigne indéfmiment de Torigine des coordonnées. En effet,

labscisse du point où elle rencontre Taxe X'X est a = — «7

et Tordonnée du point où elle rencontre Y' Y est b = — j-

C n'étant pas nul, si A et B tendent vers zéro, aeib augmentent indéfiniment en valeur absolue; donc les deux points où la droite rencontre les axes de coordonnées, s'éloignent indéfiniment du point ; il en est donc de même de la première droite, l'autre reste à distance finie.

Enfin si l'on supposait à la fois A = 0,B = 0, C = 0, on n'aurait plus qu'une équation : le problème est évidemjfnent indéterminé.

M4». ÉquAliom générale des droites qui passent par le point de rencontre de deux droites données. — Quand OU donne les

232 GÉOMÉTRIE ANALYTjQUE.

équationa de deux droites, oa peut écrire immédiatement Téquation générale de toute droite passant par leur point commun sans déterminer les coordonnées de ce point commun dont le calcul est trop long. Soient en effet les équations de deux droites :

[1] Aa?H-By-4-C=0ou plus brièvement D =

[2] A' x -f. B'y -h C = ou plus brièvement D' = 0.

Nous avons vu {n^ MY) que si on multiplie Tune d'elles par un coefficient arbitraire X, et si on additionne, Téquation ainsi formée

[3] Aa:4-By4-C-|-X(A'a:-hB't/H-C') = ou D-f-XD' =

représente une ligne passant par tout point commun aux deux premières, puisque les coordonnées d*un point commun annulent simultanément les deux polynômes D et D^

b ailleurs Téquation [3], étant du premier degré, représente une droite. Je dis qu*en y faisant varier X elle peut représenter toutes les droites qui passent par le point de rencontre des précédentes.

En eflel, si les droites D et D' se coupent

Fig 183. ^" ^ C*?' ^^^)' P^"^ déterminer une droite

passant déjà par H, il suffit de donner un autre point P de cette droite; soient x^, y^ les coordonnées de P. Ce point est sur la droite [3], si Ton a

[i] Ax^-hBy^-hC■^^A'x^r^îi'y^-hC)z=0 ou Di-f-XDf|=0.

Si le point P n'est pas sur la droite D', on aA'j^i-l-B'yi-l-C'^t et la condition précédente détermine le nombre X; on en tire

A3r,-4-Bi/,-4-C D,

et réquation [3] devient Téquation de la droite MP, qui prend la forme

Aar-4-By-hC K'x-hWy-^G Aa:^ -h Byi H- C ~ A'a:^ + Wy^ -^ C

ou , en abrégeant» -- = —-.

ÉQUATION DU PREUIER DiCRÉ. — LIGNE DROITE. 233

Si le point P est sur la droite D'^, il ne peut être en même temps sur la droite D, puisque par hypothèse il est différent du point H ; donc la condition [4] donne

Mais» en divisant l'équation [3] par X, celle-ci

J-(Aa:4-By4-C)4-A'a:-hB'i/-|-C' =

se réduit à

A'ar4-B'y-f-C' = c'est-à-dire à

quand X devient infini.

De même pour X = Téquation [3] se ré'duit à

Donc, en faisant varier Xde — <x> àOetâ + oo, Téquation

D-|-XD' =

peut représenter toutes les droites qui passent par le point commun aux deux droites D = 0, D' = 0, y compris ces droites elles-mêmes. Remarque. — Si les deux droites données D et D' sont parallèles, on a

D""B'"~Bh-XB'""

quel que soit X; Téquation [3] est alors Téquation générale des droites parallèles aux droites données.

MY. Exemple. — Droite pansant par rorlgine et par le point de rencontre de deux droites. — Soient les deUX droites

[1] Ax-4-Bt/ + C=:0

Toute droite qui passe par leur point d'intersection a une équation de ta forme

[3J Aa;4-By-hC + X(A'^-|-BVH-C') =

23 i GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Pour que cette droite passe par Torigine, il faut que soo équation soit vérifiée par a; = 0, y = 0, donc on doit avoir

L*équation [3] devient donc

A.r-hBî/-hC=^(A'a;-hB'y-f-C')

t48. Théorème. — Si une équation du premier degi-é contient un paramètre arbitraire X, nu premier degre\ toutes les droites quelle représente quand on y fait vaHer X passent par un point fixe.

En effet, une pareille équation est de la forme

(A-4-XA')x-f-(B4-XB')»H-(C-+-XCO=0 ou

A^ -h By -f- C 4- X (A'x -I- B'y -h C) =

C*est réquation générale des droites passant par Tinlersection des droites

Aa:-hBv-l-C =

A'xH-B'y-hC'=3

t-t9. Équation de la djrolt« qui pas»e par rintersccUoa de dcax astres et est parallèle ik ane tralslfme droite donnée. —

Soient les trois droites

Ax-hî^y-hC = A'jc-f-B'i/-*-C'=0 A"j:-hB"y-hC" =

réquation générale des droites passant par lintei'section de D et D' est

[4] {A + XA')j:-h(B-+-XB')y-+-C-hXC'=0

Pour qu'elle soit parallèle à D", il faut que les coefficients de x et de y soient proportionnels, donc

A4->J/ b-4-xb; A" ■" B"

ce qui donne pour X la valeur . .

Kn substituant celle valeur de X dans Tëquation [4], celle-ci devient