AB' — BA" ~ A'B" — B'A

qui est l'équation demandée.

tS4l. Droites concourantes. — Théorème. — Trois droites étant données, dont les équations sont

A.r-hBy4-C =

A"a;4-B"y-hC" =

pour que ces trois droites concourent en un même point {situé à distance finie ou infinie), il faut et il suffit que les coefficients satisfassent à la condition

AB'C" — AC'B" -f- CA'B" — BA'C" -j- BC' A" — CB' A" =

(c'est-à-dire que le déterminant A formé par les neuf coefficients des équations soit nul).

En effet, pour que les trois droites D, D', D" passent par un môme point, il faut et il suffit que les trois équations soient vérifiées simultanément par un môme svstème de valeurs de x et y, soit j:=a,

Rendons ces équations homogènes en y remplaçante par*-» y par^*

on obtient ainsi le système

f Aj:-f-Bî/-f.C2 = [H] j A'x-4-B'y-hC'5 =

( A":c-hB"y-hC"2 =

qui revient au système donné si Ton y fait 2 = 1. Ce système (H) doit donc admettre une solution telle que

236 GÉOMÉTRIE ANALYTIQVE.

Or OD a VU en algèbre élémentaire (voir Eléments d* Algèbre, n** i«0 et tn) que la condition pour qu*un système homogène tel que [11] admette une solution autre que ^ = 0, y = 0, z = 0, est que le dénominateur commun, autrement dit le déterminant A, formé par les neuf coefficients, soit nul. C*est la condition indiquée dans Ténoncé.

tsi. Remarque. — Ahréviailoiis. — On se dispense souvent de former l'expression A, qui est un peu longue. Ayant les trois équations

D = D'=:0 D"=0 on forme Téquation

D-hXD' =

et si, pour une valeur particulière de X, celte équation se réduit à D" = 0, on en conclut que les trois droites données sont concourantes. Si, par exemple, en additionnant membre à membre les trois équations, on arrive â une identité D -h D' 4-0* = 0, c est que le polynôme D'' est identique au signe près à la somme D + D'.

Application. — Médianes d'um triani^le. — Soit un triangle ABC; prenons le côté BC pour axe des x et la hauteur correspondante pour axe desy (fig. 18i).

Soient fr et c les abscisses positives ou négatives des sommets B et C, et a Tordonnée du sommet A; Tabscisse du milieu d*un côté est toujours la demisomme algébrique des abscisses de ses extrémités et de même pour lordonnée.

su.

Fig. 184.

Par suite les coordonnées du milieu A' de BC sont

et o; celles

de B', milieu de CA, sont ^ et q* et celles de C, milieu de AB, sont ^

L*équation de la médiane AA' est donc (n» t4S)

b-hc a

ou

îax'h(b-hc)y'-a(b'^c) = 0.

La médiane BB' a pour équation (n"* Ml)

[2] aa:4-(2i — c)y — a* =

et la médiane CC qui s'en déduit en permutant fr et e

[3] aj:-|-(2c — 6)y — ac==0.

Si» multipliant par — 1 l'équation [1], on Tadditionne avec les équations [2] et [5], on trouve l'identité

donc les trois droites sont concourantes.

On trouve les coordonnées a:,, y, de leur point de concours (centre de gravité du triangle), en résolvant deux des équations, par exemple [2] et [3], ce qui donne

a fr-hc

On voit que les coordonnées du point de concours des médianes sont les moyennes arithmétiques des coordonnées des trois sommets du triangle.

MS. C^onditloa pour que trois points donnés soient en lli^B® droite. — Soient les trois points A(ic'y'), B(x"î^"), C(a/"i/") (fig. 185). Pour qu ils soient en ligne droite, il faut et il suffit que le coefficient angulaire de AB et celui de BG soient égaux; or le coefficient angulaire de AB est

celui de BG est

la condition cherchée est donc

v"—v'jr-

-"Aïo-;^')

Fig. 185.

«S4. Application. — Les milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite. Soit le quadrilaU>re OACB (dont Tangle est supposé droit pour simplifier), et prenons OA et OB pour axes de coordonnées. Si on prolonge les côtés opposés jusqu'à leur rencontre en A' et en B', la figure ainsi formée est ce qu'on appelle un quadrilatère complet (fig. 186); cette figure a trois diagonales, OC, AB et A'B'.