III. — ANGLES ET DISTANCES
MS^ AA^ie de deax djroitca. — Definitio:*. — Soient deux droites AB et A'B', qui se coupent en I. Traçons deux axes rectan- ^laires; le sens des rotations positives est le sens suivant lequel OX doit tourner d'un angle droit pour venir coïncider avec OY. On appelle angk delà droite k'B'avec la droite AB, Vun quelconque des angles dont il faut faire tourner la droite AB autour du point I pour l'amener sur A'B\ cet angle étant positif ou né- «ratif suivant le sens de la rotation de AB autour de I(rig. 187).
Il y a une infinité d'angles répondant à cette définition, mais parmi ces angles il en existe un, et un seul, compris entre et tc. Soit 9 cet angle; chacun des autres en diffère d*un multiple de ir« de telle sorte qu*en désignant en général* par V Tun quelconque des angles de A'B' avec AB, on a
Y = A7cH-(p
k étant un entier quelconque, positif, négatif ou nul; tous les* angles V ont donc la même tangente, tang V = tang 9.
On voit que, si on désigne par 9 Tangle géométrique de la droite A'B' avec AB, celui de AB avec A'B' est égal à — 9, et en général tout angle dont tourne A'B' pour venir coïncider avec AB est
V = A'ir — 9 tang V' = — tang (p
Fig. 187.
Donc
tangV' = — tangV.
tse. Problème. — Connamant ies équations de deux droites, AB, A'B', calculer la tangente de V angle que fait A'B' avec AB.
Menons par l'origine des coordonnées les parallèles OD» OD' aux deux droites données. L*angle de A'B' avec AB est le même que celui de OD' avec OD.
Or, si on désigne par co et co' les angles géométriques que font OD et OD' avec OX, pour amener OD sur OD', on peut d'abord amener OD sur OX par la rotation — o>, puis OX sur OD' par la rotation -f-w'; donc Tun des angles de OD' avec OD est égal à
Cl)' (I)
et en général
Y == n t: + w' — <ii).
D'ailleurs, en désignant par a Tun quelconque des angles de OD avec OX, et par a' Tun quelconque des angles de OD' avec OX, on sait que
a'^w'+A'TT.
Donc en général
V = (n-h — A^)7c-4-a' — a = m7c-+-a' — a
et par suite on a toujours
A' * / / \ tanga' — tanga langA=tang(a' — a) = î— 4-1— 7—"^ — ° °^ ^ l-f-tang'a'tanga
Hais les équations des droites OD et OD' sont
y = mx y = m'.r
et on sait que
tang a = m tang a' = m'.
Donc enfin
if ^' — w* taiig\= .
l-+-mm
tsv. Discussion. — Cas particulier, -^1° Si les droites données sont parallèles
m'^^m tangV:=.0;
â<^ Si Tune des droites, OD par exemple, est pérpeadicul^ire à OX, son coefficient angulaire m est infini,. Texpression de tang V prend
la forme illusoire —, mais, en divisant les deux termes par m, on a
tangV=j et, quand m croit indéfiniment,
ni
lim tang V = — y'
'' C'est l'expression de la tangente de l'angle que fait avec la direction OY une droite dont le coefficient angulaire est*m'.
o« L*expression de tang V ne pevt pas prendre la forme jr> car
cela exigerait qu'on eût simultanément
m! = m et m7n! = — \ et par conséquent
égalité qui ne peut être vérifiée par aucune valeur réelle de in\ [
tM. DrolCca perpendicnlalrcs. — Théorème. — Pour que deux droites soient perpendiculaires, il faut et il suffit que lé produit de leun coefficients angulaire» soit égal à ^— i >
En effet, la tangente de l'angle Y doit alors être infinie, donc son dénominateur est nul; la condition est donc :
l-f-mm' = ou mm^= — 1.
SM. Équation de la perpendlefdalre ahalB«ée d*u pofat donné snr une droite donnée. — Pied et long nenr de la perpendlealalre.
Soient
[1] A:r-hB//-t-C=:cO'
l'équation de la droite AB et x'y' les coordonnées du point P
(ng. 188). - ■ ; -: , , :■
LAUNAY. — > COMPL. o'a1.G. 16
2t2 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
1<^ L*ëquatioD générale des droites passant par le point P est
En désignant par m le coefficient angulaire de AB, puisque la droite cherchée doit être perpendiculaire à AR, on doit avoir
miu = — 1 ou u=
Hais le coefficient angulaire de AB est
¥ig. 188.
ou
L'équation de la perpendiculaire PH est donc
i^ Soient Xi^i les coordonnées du point M, on les obtiendrait en résolvant par rapport à x et ^ le système des équations [1] et [2]. Quant à la distance PH, nous savons qu'elle a pour expression
Ceci nous conduit à calculer les deux binômes Xi — afeiy^ — y'; .ï\ et Vi devant vérifier les équations [1] et [2], on doit avoir
Ax4-t-Byi-+-C=0, ou
ot [i] B(x,-^)-A(y,-y') = 0-
Eq résolvant ces deux équations [3] et [4] par rapport ix^ — x' et
y, — y, on a
Xm — X
--B(Ar^-4-B.y^-4-C)
Ui—y'— AM-B-
qui, substitués dans Texpression de la distance, donnent
;^ Ar^-HB/-f-C
"" ±v^A«-hB« '
Pour avoir la valeur absolue de [la distance» on choisit devant le radical le signe + ou le signe — , de manière que Texpression de o soit positive.
•••• BéicrailiuiaoB directe de ïm dlsUinee d'an point * ose droite. — On peut calculer cette distance sans écrire Téquation de la perpendiculaire, de la manière suivante (fig. 189) :
lo Supposons le point donné à Torigine des coordonnées. L'équation de la droite donnée étant
[1] Ax-f-By-HC=0,
Fig. ISO.
Tèquation de cette môme droite peut
être écrite aussi sous la forme indiquée (n<^ tn) en fonction de sa
distance à Torigine :
a:cosa-f-ysina — 8:=0.
Ces deux équations représentant la même ligne, les coeflicients doivent être proportionnels (n^ »M) ; donc
costt sma
d*où
C0Sa=: — -8
sma = — ^8
^l GÉOMÉTRIE AiNALYTIQl'E.
et comme .
C08*a-+-sin'a=l
A«-+-BV
d*oii
8 = — 4= it:v/A»H-B«
La valeur absolue de la distance de Torigine à la droite donnée a donc pour numérateur le terfne corittant C, et pour dénominateur VA*-hB*, en prenant devant le radical le signe de C.
2*^ Soit maintenant un point P quelconque du plan, x', %f ses coordonnées. Transportons Torigine en ce point P» en désignant par XY les coordonnées courantes dans ce nouveau système; l'équation de la droite AB devient
A(XH-y)-hB(Y-hy')H-C = ou
AX -h BY -h ( Aar' H- By'H- C)= 0.
Le terme constant étant Ax'-f-By'+C, la distancé PKde Toriginc à la droite est alors
^^ A.r^-4-By^-4-C
zt:v^A«-+-B« * • '
Nous retrouvons la formule déjà établie.
Bbgle. — he numérateur est le premier membre de V équation de la droite dans lequel on remplace lès coordonnées courantes par celles du point P, et le dénominateur est toujours la racine carrée de la somme des carrés des coefficients des variables.
toi. Convention établie pour «ttribner un slin*® * ^ dilstnnee. — Réglons 4« plan séparées par la droite. — Si Ton
veut simplement la valeur al)solue de la .distance, on donne au radical le signe du numérateur» lexpression de S e$t ainsi positive.
Hais très souvent il est utile de donner un signe à la distance; en cfTet, suivant que le point P se trouve placé d*un côté ou de l'autre de la droite AB, le sens du segment de droite PK est changé.
Nous conviendrons de faire toujours précéder le radical du signe 4- ; . alors 8 aura le signe du numérateur Ax'-hBy'-hC.
La droite AB partage le plan en deux régions, région [I] et
ÉQUATION DU PREMIEtl DEGRÉ. — LIGNE DROITE. 245
région [11] (fig. 190). Les coordonnées d'un point P mobile sur le plan n'annulent la fonction Aar-4-By-4-C que quand le point P vient sur la droite; tant qu'il reste dans la même région, la fonction prend et conserve un môme signe. — Soient en effet deux points P [xfi/]. Il [x'Y] dans la même région; on peut toujours, pour aller de l'un à l'autre, suivre un contour polygonal PQR, dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées et ne traversent pas la droite AB. Quand un mobile va de P en Q, son ordonnée reste constante et égale à y\ son abscisse seule varie; le polynôme Ax 4- B;/' -+- C est donc une fonction du premier degré ^ig. i90.
en x; elle est par suite continue et ne
pourrait changer de signe qu'en passant par zéro, mais elle ne s'annule pas, puisque le segment PQ ne traverse pas la droite AB ; donc elle conserve son signe.
Ainsi Aa:"-+-Bî^'-f-C a le même signe que .Va/ 4- Bt/' H- C. De même, quand le mobile va de Q en R, x reste égal à x", y seul est variable et la fonction Aa;"-4-By + C conserve son signe; donc Ax' -h By" -4- C a le même signe que Aa:' + Bi/ + C. Le numérateur de 0, et par suite aussi S, prendra donc le même signe pour tous les points dû plan P, Q, R situés dans la même région, et 8 prendra des signes différents pour deux points tels que P et F situés dans deux régions différentes.
Pour reconnaître le signe qui convient aux poinis d'une région : l'Sila droite donnée ne passe pas par l'origine des coordonnées, ce point est dans l'une des deux régions qu'elle sépare; or, pour x = 0, y = 0, la fonction Aa?-f-B«/-+-C se réduit à C. La distance d'un point du plan à la droite a le signe de C pour tout point situé dans la même région que l'origine, et elle a le signe contraire à celui de G pour tout point de l'autre région. 2<» Si la droite donnée passe par l'origine, son équation est de la forme Ax-+-By = 0. Prenons un point M sur l'un des axes de coordonnées, par exemple sur l'axe desarposilifs; x étant positif et y nul, la fonction Aa:-hBy prend le signe de A; donc elle conserve le signe de A pour tous les points de la région qui contient l'axe positif OX, et le signe contraire pour la région qui contient l'axe OX'.
Mt. Exemples numériques. — i» Soit la droite 3.r — 4^4-1=0 et le point dont les coordonnées sont :c' = 1 , j/' = 2.
GÉOMÉTRIE AKALYTIQUE.
On a
Or, en faisant .t = 0, y'=0 dans Téquation, le résultat est + i. liC point donné P et l*origine sont donc dans deux régions différentes,
la distance de l'origine à la droite vaut -f- r*
2» Soit la droite 3:r + 4y = et le point P dont les coordonnées sont x = ^, y=i :
D'ailleurs pour lout point pris sur OX la distance serait aussi positive ; donc le point donné P est dans la même région que OX par rapport à la droite.
I. Applicatio:^. — Equations des bissectrices des angles formés par deux droites.
Soient) ./ . d/ ^p/Hni '*^s équations données (fig. 191).
On peut toujours, en les écrivant, supposer C et G' positifs. Sur les
quatre angles formés par les droites, l'angle [1] où se trouve Torigine appartient donc à la région positive par 'B rapport à chaque droite. Tout point H (X,Y) pris sur une bissectrice est équidistantdes deux droites, les expressions de ces distances sont
AX-4-BYH-C
Fig. 191.
v/Th^^b'^
Pour tout point de la bissectrice des angles [i] et [3] ces expressions sont l'une et l'autre positives, ou Tune et l'autre négatives.
Donc les valeurs absolues des distances sont égales si Ton â
AXh-BY-^C A'X-4-B'Y-4-C'
v/A*-i-B« vTm=T«
C*est l'équation de la première bissectrice.
Mais pour tout point de la bissectrice des angles [2] et {ii\ les expressions précédentes ont des signes différents; donc pour exprimer que les valeurs absolues des distances sont égales, il faut écrire
™ AX-f-BY-f-C ^ A^XH-B^Y-^r/
'■ J sfJJTh' ~ v/A'*-hB'»
C*est réquation de la deuxième bissectrice.
Chacune de ces lignes passe par le point de rencontre des droites données D et D^ car leurs équations sont de la forme
D — XD' = D-|-XD' =
••4. Éqnattons de« hauteurs d*uii triangle. couiaisMUit les coordonnées des trots sommets. — Soit ABC le triangle,
iafy' les coordonnées de A x'Y celles de B
a/y celles de C
Le coefficient angulaire de BC est • ,, ^,„ f donc celui de la hau-
tour correspondante est „ ,„ • et cette hauteur, passant par
le point A, a pour équation
ou
(y - yl (»" - y'I -+- (^ ~x') (x" - .r"') = o
ou
[1] (^" - a;"> 4- iv" - y'")y - x\x'' - x"') - y'{y" — y'") = 0.
Par une permutation circulaire des sommets A, B, C, on a successivement les deux autres hauteurs
[2] (x^" - af)x H- (y" - y')y - x^x'^' - ^) - »"(»"' ~ »') = »» [5] (a:' - x'> H- (y' - y")y - x'''{x' - af') — y'"(i/' - y") = 0.
218 GÉOMÉTniE ANALYTIQUE.
Si on additionne membre à membre les trois équations, on obtient l'identité
Donc les trois hauteurs sont concourantes.
t66. Remarque générale. — Formules qml «xlsent l'osage de
eoordonpiées reeuuigiiUitre«. — Dans tout ce qui précède nous avons supposé les axes <le coordonnées rectangulaires ; mais il est bon de remarquer que les questions où figurent des angles et des distances sont les seules pour lesquelles ce clioix de coordonnées soit nécessaire, les formules correspondantes devenant un peu plus compliquées quand les axes sont obliques. Mais tous les autres problèmes (droite passant par deux points, intersection de droites) ont la même solution et conduisent aux mêmes calculs alors même que les coordonnées sont obliques.
lieux 0éoribétrlques. — 0)1 appelle lieu géométrique Tensemble des points qui jouissent d*une propriété commune à Texclusion de tous les autres points, soit dans un plan, soit dans lespace.
Quelquefois on obtient directement l'équation d un lieu géométrique en traduisant algébriquement la propriété qui le définit. C'est ainsi que nous avons trouvé les équations des différentes courbes, ellipse, hyperbole, cissoîde, etc. Mais le plus souvent on ne peut pas trouver, immédiaterhent réquation.
De la propriété qui définit un lieu résulte une même construction permettant d'obtenir la ligne demandée point par point. Par exemple, soit le lieu des point» d'où l'on voit un segment de droite BC sous un angle donné a.
Par B traçons une sécante quelconque BZ, en un point quelconque de cette droite faisons l'angle BAD = a et menons par C la parallèle à AD; nous obtenons en H un point du lieu.
On aura de même sur toute autre sécante BZ' un point M' (fig. 192j.
En général la construction par points d'un Fiff. 192. lieu géométrique résulte de l'intersection <le
deux lignes qui se déplacent et môme se déforment suivant une loi déterminée. Chacune de ces lignes étant ainsi variable, leurs équations doivent renfermer certains coefficients arbitraires t[VL on nomme des paramètres ; il ne faut pas les confondre
avec X et y, qui sont les coordonnées courantes d*un point mobile sur chaque ligne. Ainsi une droite qui tourne autour d*un point fixe dont les coordonnées sont a et 6 a pour équation
Le coefficient angulaire {a, qui varie avec la direction de la droite, est un paramètre arbitraire.
Dans réquatioh générale des circonférences de rayon quelconque, ayant pour centre Torigine des coordonnées
le rayon p est un paramètre arbitraire.
M9« IVottons 0éBéralc« povr trouver l*é^piaUoii di*«ii llem 0é«métriqiie. — Supposons qu*on ait trouvé les équations de deux lignes mobiles qui, dans chacune de leurs . positions successives, doivent, par leur intersection, donner un point du lieu; ces équations contenant chacune un même paramètre arbitraire a,
[1] f (r, y, a) = courbe AB [2] fi {x, y, a) = courbe CD
Pour a = a| on a les lignes AiBp G^Dj qui se coupent en H^ Pour a = 0, — — A,B„ C,D, — — M^
Pour a = 05 — — AjBj, CsDj — — M,.
et si on fait varier a d*une manière continue, le point d*intcrseclion M décrit généralement une ligne £F qui est le lieu demandé (fig, 195).
Les coordonnées de tout point du lieu doivent satisfaire simultanément aux deux équations [1] et [2] quelle que soit la valeur du paramètre a, et par suite aussi à Téquation en 07 et y qui résulte de Télimination de a entre les équations des lignes mobiles [1] et [2].
Nous nous bornerons à cette indication pour en conclure la règle suivante :
Règle. — Quand les équation» de deux lignes contiennent un même paramètre arbitraire^ on obtient généralement Céquation du lieu géométrique de leur intersection en éliminant ce paramètre entre les équations données.
Fig. 185.
tM. Exemple. — On donne deux axes rectangulaires, et un point A sur OX ; par A on mène une sécante qui coupe l*axe de» y en B ; par le point oit trace OZ parallèle à AB et par B la perpendicu^
laire à OZ. Trouver le lieu du Y pied H de cette perpendiculaire
.B (fig. 194).
Le point M est l'intersection des droites OZ et BH.
L*équation de OZ est
[1] y = mx.
Celle de AB est donc
y=zm(x^a)
quipourx==Odonney= — ma, telle estTordonnée du point B.
Donc réquation de BH, menée par BperpendiculaireroentàOZ, est
y -+- ma = .r.
Nous aurons Téquation du lieu en éliminant le paramèti*e arbitraire m entre les équations [1] et [2].
Tirant m de la première et substituant dans la deuxième, on a
au .r'
ou
{X'ha)y* = ^x^ y* =
Et si l'on change x en — x, ce qui revient à diriger le sens des x positifs suivant OX',
on reconnaît Téquation d'une cissoîdc dont le sommet est en et
Tasymptote est V'V, dont la distance à Torigine est égale à OA.
Bemarqce. — Le point fixe par lequel passe constamment Tune
des deux lignes mobiles, dont le point H est l'intersection, fait partie du lieu. En général, quand une des génératrices passe par un point fixe quel que soit le paramétre a, les coordonnées du point fixe vérifient l'équation du lieu ; ce point est sur la courbe trouvée ou bien est isolé.
