EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE
1 . Dans un triangle ABC on trace une parallèle quelconque EF à la base BC, et des points E et F on abaisse des perpendiculaires sur BC; trouver le lieu du point de concours des diagonales du rectangle ainsi construit (prendre pour axes des coordonnées le côté BC et la hauteur correspondante).
2. On donne un triangle ABC et deux points P et Q sur la droite BC ; on trace une parallèle quelconque EF à la base et les droites PF, QE qui se coupent en M, puis les droites EP, FQ qui se coupent en N. — Trouver le lieu du point M et celui du point N; montrer que chacune des droites trouvées passe par le point A; quelles positions doivent occuper les points P et Q pour que ces deux droites se confondent? (fig. 195.)
5. On donne deux droites rectangulaires, deux points fixes A et B sur Tune d'elles et un point M mobile sur Tautre; on trace les droites BIA, MB, du point A on abaisse la perpendiculaire sur MB, et du point B la perpendiculaire sur MA. Trouver le lieu du point P^ de rencontre de ces perpendiculaires. Solution .''/ analytique et géométrique. ^ B^il /
Fig. 195.
Ml
4. Sur deux axes rectangulaires on prend deux longueurs variables OA, OB dont la somme algébrique est constante, soit p, et on construit le rectangle OABI). Démontrer que la perpendiculaire abaissée du sommet D sur la diagonale AB passe par un point fixe, et déterminer ce point.
5. On donne deux droites parallèles et équidistantes de X'X, deux points fixes A, A' et un point mobile M sur cet axe: par le point M on mène aux parallèles données la perpendiculaire BMB' et on trace les sécantes AB, A'B'. Trouver le lieu géométrique de leur point de rencontre P (fig. 196).
6. On donne les équations de trois droites D', D', B"; trouver Téquation de la
Fig. 196.
perpendiculaire menée sur Tune par le point de rencontre des deux autres.
7. Déduire de là que, dans un triangle quelconque ABC, les trois hauteurs sont concourantes.
8. Trouver le lieu géométrique des points équidisfants de deux points donnés A(x', y') et B(x", y"). Vérifier que c'est la droite perpendiculaire au milieu de AB.
9. Démontrer que les perpendiculaires élevées au milieu de chaque côté d*un triangle ABC sont concourantes.
10. Démontrer que : i* les bissectrices de deux angles adjacents formés par deux droites qui se coupent sont rectangulaires ; 2* les bissectrices des trois angles intérieurs d'un triangle sont concourantes: 3* une bissectrice d'angle intérieur et les bissectrices des deux autres angles extérieurs sont concourantes.
il. Prouver que : !• dans un triangle le centre de gravité G, Torthocentre H et le centre » du cercle circonscrit sont trois points en ligne
iir 9
droite; 2" le point G est situé entre II et « et le rapport ?p = =•
12. On donne un triangle kf\C, on joint les trois sommets à un point Çixe et par les milieux A', B', C des côtés on mène :
A'A" parallèle à OA, B'B" parallèle à OB, C'C" parallèle à OC.
!• Montrer que ces trois droites concourent en un point M. 2" La ligne OM passe par le centre de gravité du triangle. 5** Les points A et B étant fixes, si le point G se déplace sur la droite OGZ, quel est le lieu du point M?
4" Même question quand G décrit une droite quelconque.
{)* Lieu du point H quand G décrit une circonférence ayant pour centre le point 0. (Pour simplifier les calculs, on pourra supposer les droites OA, OB rectangulaires et les prendre pour axes \ de- coordonnées.)
\ 13. Par un point P que Ton projette en A et B
- - -VP sur les axes de coordonnées, on trace une droite
|\ quelconque qui rencontre X'X au point L, et YT
! \^ au point M; démontrer que le produit AL X BM
^ ^\ ^ est constant (fig. 197).
-i 4. Lieu géométrique des points dont la sonwne Fig. 197. ^®^ distances à trois droites données est con-
stante et égale à d. — Gas où les trois droites forment un triangle ABC, rectangle en A, d étant égal soit à h, soil à c,
,,. bc soit a —
ÉQUATION nu PREMIER DEGRÉ. — LIGNE DROITE. 255
15. On donne la hauteur h et l'une des bases a d'un trapéxe rectangle OABC; sur la base variable, BG, on construit un carré BGDE et on trace les droites CD, AE, qui se coupent en M. Lieu géométrique du point D, et lieu du point M? (fîg. 108.)
FiK- 108.
iC». On donne deux axes rectangulaires et un point A sur OX; on tracé une sécante quelconque AB et la perpendiculaire MAM' sur laquelle on prend les longueurs AM = AM' = AB. Lieu géométrique du point M. et du point M'? (fig. 19D.)
17. Une sécante AB tourne autour du point A donné sur OX; du point on mène ta perpendiculaire OZ à la sécante AB y et du point B la parallèle à OX. Lieu géométrique du point de rencontre M de ces droites? (fâg. 200.)
t8. Les données étant les mêmes que dans le problème précédent, trouver le lieu géométrique du point de rencontre P de la parallèle à OY menée par le point U et de la perpendiculaire menée en B à la ligne AB.
19. On donne trois segments de droites parallèles et inégaux AB, A'B', A"B". On trace les sécantes
A.V et BB' qui se coupent en M", A'A" et B'B" qui se coupent en M, A"A et B"B qui se coupent en H'.
Montrer que les trois points M, M', B!" sont en ligne droite.
20. On donne deux droites rectangulaires X'X, YTet deux points fixes A et B sur Tune d'elles, un point P est mobile sur l'autre; on trace les droites PA, PB et on élève à ces dernières droites les perpendiculaires AM, BM. Trouver 1** le lieu du. point M; 2Me lieu du centre du cercle circonscrit au quadrilatère AMBP(fig. 201).
Fig. 200.
21. On donne deux axes rectangulaires et un point A sur OX. On prend sur OY deux points quelconques B, B' équidistants du point 0; on trace la
jrXr
yM
Fig. 201.
Fig. 902.
sécante &'AZ et du point B la perpendiculaire UM à cette sécante. — Lieu du point M. — Transporter Torigine en A el reconnaître la courbe (lig. 202).
22. On donne deux points fixes F, P. On trace OY perpendiculaire au
milieu de FT, et par F et F' deux sécantes parallèles; l'une» FZ, coupe OY au point C, d*où Ton mène la perpendiculaire com* inune CM. — Lieu du point M. — Transporter Torigine en F' et reconnaître la courbe (fig. 203).
23. On donne un trapèze rectangle OACB dont les bases ont des longueurs constantes OA = a, CA = ft et dont la hauteur OC = X est variable ; OA restant fixe, on trace la diagonale AG et on abaisse sur AG la perpendiculaire BH. — Lieu du point M.
Fig. 203.
— Discuter et voir comment se modifie la courbe suivant que
a > ft, a = 5, a<b,
24. On donne une droite AB qui coupe deux axes rectangulaires à égale distance de l'origine ; d'un point M de cette droite on abaisse sur les axes les perpendiculaires HG, MD; on trace GD et la perpendiculaire HZ sur GD. Prouver que, quand le point M se déplace sur AB, la droite MZ tourne autour d'un point fixe (fig. 204).
25. On donne Taxe XOC d'une parabole et deux points sur la courbe, l'un fixe. A, l'autre mobile, B; on mène les ordonnées de ces points AA', Bfi', et les droites AB' et BA' qui se coupent en G; par le point G on trace la parallèle à Taxe jusqu'à la rencontre de AB en H. — Lieu de M. — * |>éduire de
là une construction géométrique du sommet, du foyer et de la directrice d'une parabole dont on donne Taxe et deux points (fig. 205).
Fig. 205.
26. Vérifier que le sommet A d'un triangle, le point de rencontre des bissectrices des angles intérieurs B et G et le point de rencontre des bissectrices des angles extérieurs B et G sont en ligne droite.
27. On donne une parabole; par le pied D de la directrice on trace une sécante DAB; du milieu G de la corde AB on abaisse la perpendiculaire GU
Fig. 203.
Fig. 207
sur la directrice et de H' la perpendiculaire HM sur la sécante DAB. Trouver le lieu du point M (flg. 206).
28. On construit des carrés sur deux des côtés d*un triangle.
l"* Prouver que les droites GF et BE sont rectangulaires.
2*" Dans quels cas la ligne AH, perpendiculaire à BG, passe-t-elle par le point BI?
3* Prouver que les trois droites BD, GG et AH sont toujours concourantes.
4* Lieu du point N quand, les points A et fi étant fixes, le point C est mobile sur la droite AZ (flg. 207).
29. On donne un point et une droite D'O; par le point on mène
deux droites OA, OM, faisant entre elles un angle constant V; la ligne OA
OM est limitée à D'D. On prend OM d'une longueur telle que -j = K. — Lieu
du point M (fig. 308).
50. On donne im angle droit XOY et une sécante AB; on trace une parallèle quelconque
Fig. 208.
Fig. i09.
A'B' à la ligne AB et les sécantes AB' et BA' qui se coupent en M. — Lieu du point M; expliquer pourquoi on trouve la droite AB comme faisant partie du lieu (tig. 209).
31. On donne un triangle rectangle ABC et deux directions AZ et AZ', dont les coeflicients angulaires 9ont m et m' ; on construit trois parallélogrammes aydnt leurs côtés parallèles à AZ et AZ' et ayant chacun pour diagonale un des côtés du triangle ABC (flg. 210). 1" Démontrer que les secondes diagonales de ces trois parallélogrammes concourent en un point I.
2** Si Tangle ZAZ' est droit et tourne autour du point A, le point I décrit la circonférence qui passe par les milieux des côtés de ABC (cercle des neuf points).
5* Si les directions AZ et AZ' varient en restant symétriques Tune de .l'autre par rapport à AC, le point I est immobile.
4"* Voir que ces propositions subsistent quand même Tangle BAC n*est pas droit.. , -
Fig. «10.
