CHAPITRE X
ÉQUATIONS PARTICULIÈRES DU DCUXIÈME DEORÊ
SYSTÈME DE DROITES — CERCLE § r. — SYSTÈME DE DROITES.
M9. Équation dn ««eoad de^ré it vne seale variable. —
Théorème 1. — U équation du 2* degré à une variable x représente un syntème de deux droites parallèles à Vaxe des y. En effet, toute équation du 2<^ degré
[I] Ax«H-Bx-f-C =
a deux racines, x' et x", et peut être écrite sous la forme
A(a- — x')(x — a/')=^ Elle se décompose donc en deux équations du 1<^' degré X — j/=0 x~x" = {S
dont chacune représente une droite parallèle à OY.
Si B" — 4AC>0, les racines a/ et x" étant réelles et inégales, les deux droites sont réelles et distinctes.
Si B' — 4AC=0, les racines étant égales, les deux droites parallèles à OY sont confondues : on dit que Téquation représente une droite double. — On sait qu'alors le trinôme du S*' degré est un carré.
Et si B' — 4AC<0, les racines étant imaginaires conjuguées de la forme a 4- pi et a — pi, il n'existe aucun point ayant une abscisse réelle qui vérifie Téquation (i).
LAIJ^AT. — COMPL. DALG. 17
Nous dirons que cette équation représente deux droites parallèles à Y'Y et imaginaires conjuguées.
SYO. CtéaérallMiUoii. — En gén&al une équation algébrique à une variable et du degré m représente un système de m droites pai^allèles à Vun des axes de coordonnées.
Soit en effet Téquation /"(a:) = du degré m.
On démontre en algèbre qu'elle a m racines réelles ou imaginaires, a:, , a:,, x^, . .:r„, et que le polynôme f{x) est décomposable en un produit de m facteurs du 1^ degré; Téquation se ramène donc à la forme
A(.r— .r,) (x — X,) ... {x— arj=0,
ce qui donne les m droites ayant respectivement pour équations
X • ■■ X^ f X • • ■ •( ]f . « • X '■ — — Xf^ •
Quelques-unes de ces droites pouvant être confondues si Téquation a des racines égales, et si elle a des racines imaginaires (cellesci sont conjuguées deux à deux), nous dirons que les droites correspondantes sont imaginaires et parallèles à Y'Y.
On voit de la même manière qu'une équation algébrique du degré m, renfermant la seule variable y, représente un système de m droites parallèles à X'X.
191. Équation homoiréiie du second deyré. — ThÉORÈME II. — . Une équation du second degré, homogène en x et y, représente un faisceau de deux droites passant par Vorigine des coordonnées.
Une équation homogène et du second degré ne peut renfermer que trois termes, en .r', en xy et en y' ; elle est donc de la forme
[1 ] A.r« -h 2Rry -h Cy« = 0.
Mettons dans le premier membre a?* en facteur
2B^^-C^Î^Vl==0.
Le trinôme du 2« degré en ^ qui est écrit entre parenthèses ayant deux racines m' et m" peut être mis sous la forme
et alors le premier membre de l'équation est identique à
OU
Cr« (y/ — m^T) (y — m''.r)
ou
C(y—m'x){y — m''xf;
l'équation donnée revient donc à
C [y — m'x) (y — m"x) = qui se décompose dans les deux suivantes
représentant chacune une droite passant par Torigine ; les coefficients angulaires de ces droites sont m' et m", racines de Téquation
[2] Cm»4-2Bm4-A =
qui s*obtient en divisant par x* tous les termes de l'équation donnée, et désignant par m la nouvelle variable -t ou, ce qui revient au même, en remplaçant x par 1 et y par m.
199. Dlscwssloa. — l"" Si B* — AC >0, Téquation [2] a deux racines m', m", réelles et inégales, donc Téquation [4] représente deux droites réelles et distinctes passant par le point 0.
2« Si B* — AC = 0, les racines de Téquation [2] sont égales, les
deux droites sont toujours réelles mais confondues, autrement dit
Téquation [1] représente une droite double. En tenant compte de
B* l'hypothèse qui donne C = -r-» on voit que l'équation [1] devient
A:r«-^2Bxy-f-^*y» = A
OU, en chassant le dénominateur A qui n'est pas nul (sinon B serait nul aussi et l'équation ne contiendrait que la variable y),
A«a;»-^2 ABxy-4-By==rO
OU
(A.r-+-By)»=0
Le premier membre est donc un carré parfait, et Ton a deux fois la droite
30 Si B"— AC<0, les racines m\ m" de l'équation [2] étant imaginaires conjuguées, nous pourrons dire que Téquation [1] représente encore deux droites qui passent par le point 0, mais qui sont imaginaires conjuguées.
L'origine des coordonnées est le seul point du plan dont les coordonnées X = 0, y = vérifient l'équation ; car, B* — AC étant négatif, posons
B*— AC = — K* on en tire
et l'équation [1] devient
ou
Cette somme de deux carrés variables ne peut s'annuler que si les deux carrés s'annulent simultanément, c'est-à-dire si ;/ = et a: = 0. On peut donc dire aussi que le lieu représenté par l'équation donnée se réduit au point 0.
4® Si le coefficient de y* est nul, l'équation [1] se réduisant à
Ax»-^2Ba:y = ou
x(Xx-h2By) =
l'une des droites qu'elle représente est Taxe des y; on voit en effet que, G étant nul, l'équation [2] qui donne les coefficients angulaires a une racine infinie.
tYS. Réciproque. ^- Toute équation qui représente deux droites passant par V origine des coordonnées est homogène et du 2<^ degré.
Soient en effet D = 0, D' = les équations des deux droites; puisqu'elles passent par l'origine, les polynômes D et D' ne contiennent
pas de terme constant et l'équation DD' = qui représente le système des deux droites est bien homogène.
994. «éaéralisatioii. *— On verra de même quune équation algébrique, homogène et de degré p représente un fai$ceau defdtvites passant par t origine.
Une pareille équation est de la forme
[1] i\z^ + J^stf-hj -h Ç^r^hf -f- . . . £0;*»- Y-+- . . . H-Kar^y»»"» 4- Ly'=
et 1 équation aux coefficients angulaires est
[2] hm^ -+- Km*^* -4-. . . -h Bm + xV = 0.
Suivant que ses racines sont réelles ou imaginaires conjuguées deux à deux, on dit que les droites correspondantes sont réelles ou imaginaires.
995. Problème. — An^ic de« deux droites représentées par une équation homogène du seeoud degré.
Soit l'équation
[1] Ai»-f-2Bri/-f-Cy«=:0.
L'équation qui donne les coefficients angulaires des droites qu'elle représente est
[2] Cm'-f-2Bm-hA = 0.
Supposons les racines m' et m" réelles. On sait (n® tss) que la tangente de l'angle de ces droites est
tang \ =^ -r-„\
mais les relations entre les coefficients et les racines donnent
m'-4-m" = — ?^ mW = J^;
donc, en élevant la première au carré et retranchant le quadruple de la seconde,
