Exemple III. — Soit la fonction y = ^-^ r

Cette fonction est discontinue pour j: = 1 .

Soit x. = l/., ,.(i-A)(l+/')l^

Pour ar4 = l-f-/i.

Donc si à partir de .r^, on donne à la variable Taccroissenient 2^» Faccroissemenl de la fonction, c'est-à-dire t/i — jo» ^st nul.

Hais si on donne à Xq Taccroissement ^'

i 1 , à . h pour X, = 1 — /n- ^5 = 1 — j^

y^- ^ — ^ir-

et Taccroisseraenl correspondant de la fonction est

qui peut devenir supérieur à tout nombre positif donné en prenant A* suffisamment petit.

ss. Remarque. — On voit par cet exemple qu'il ne suffit pas, pour la continuité de la fonction, qu'à un certain moment, pour une valeur donnée de A, laccroissement k de la fonction devienne en valeur absolue moindre que s; mais il faut encore que cet accroissement, k, reite ensuite constamment inférieur à e quand h tend vers zéro.

SS. Théorème YI. — Si une fonction f (x) est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et h, a étant plus petit que b, et si la substitution des nombres ai et h dans f (x) donne des résultats de signes contraires^ la fonction {{\) s annule au moins pour une valeur de X comprise entre a c/ b.

Supposons pour préciser f(a) <0 et A^)> 0; substituons à x

le nombre — ^ — » moyenne arithmétique des deux précédents.

Si le résultat fl — ^ — J est nul, le théorème est démontré. Sinon, parmi les trois valeurs successives de la fonction,

f(a) qui est < 0, /'(^^)' et f(^) q«î est > 0,

il y en a toujours deux consécutives dont la première est négative et la seconde positive. Soient a^ et 6| les deux valeurs successives de xpour lesquelles ce changement du signe de la fonction se produit.

/(^)>0 «. = a et fr. = :

Si I I — 5 — I ^^^ V wf — «* ^*- •'i — — 5-

et SI /|^__j<0 aj = -^ et b^ = b

on a donc toujours éii > a et &i < & ♦»t toujours aussi bi — a, = —5 —

Considérons maintenant les trois nombres

Puisque /*(ai) <1 et /*(6|) >> 0, le même raisonnement est applicable, c'est-à-dire que si fl-^ — ') est nul, le théorème est démontré; sinon, parmi les trois nombres précédents, il y en a toujours deux consécutifs, a, et 6„ tels que f(a^) < et /"(*,) >

avec les conditions a^^ap b^^b^ et 6, — a, = -i-3 — U

€t ainsi de suite. En continuant de la même manière, ou bien on trouvera un nombre qui, substitué à x, annulera la fonction, ou bien on obtiendra deux suites de nombres

[2] fc^b,^fc,^63 ... ^fr,

tels que ceux de la suite [Ij substitués à x rendent la fonction f{x) négative, et ceux de la suite [2] rendent la fonction positive.

Les nombres de la suite [i] ne peuvent décroître et généralement vont en croissant; mais comme a^ < 6„, quel que soit n, ces nombres restent tous inférieurs à b^, donc ils tendent vers une limite A (n* ») inférieure à b^.

De même les nombres de la suite [2] ne peuvent croître et géné-

l'I COMPLÉMENTS D'ALGÈBRE.

ralement vont en décroissant ; mais chacun d'eux reste supérieur ùc a,, donc ils tendent ainsi vers une limite B supérieure à a.. Ces deux limites sont I*une et Tautre comprises entre a^ et 6., donc leur différence est moindre que fr^ — a^.

Or, puisque

On — an = 5

on en déduit, en multipliant membre à membre.

an =-

Donc, comme en prenant n assez grand on peut rendre 2*" supérieur à tout nombre donné {voir, ÉlémenU d Algèbre, n9* st«, SCT cl St8), la différence 6, — a, peut devenir moindre que tout nombre positif donné e.

Donc la différence entre les deux limites B et A étant inférieur à b^ — a. est rigoureusement nulle. Donc les deux suites de nombres [1] et [2] ont une limite commune.

Soit Xq cette limite, je dis que f{Xf^) = 0.

En effet, la fonction f{x) étant continue dans l'intervalle de a à ^, le nombre f{Xf^) est fini, et la valeur de f{x) a pour limite f(x^) quand X tend vers x^ suivant une loi quelconque.

D'une part, quand x prend successivement les valeurs a, a,, a,... a, et tend vers ^o» l^s valeurs correspondantes de la fonction, c'està-dire /'(a),/'(aj), /*(«!), . . . A^»)» ^^"t toutes négatives, leur limite /■(oTo) ne peut être que négative ou nulle.

D'autre part, quand x tend vers x^ en passant par les valeurs b. /^i, i,..., b^yfib), f(bi), /*(*,)..., f(bJ^) étant des nombres tous positifs, leur limite f(Xf^) ne peut être que positive ou nulle.

Donc cette limite est nécessairement nulle.

Il existe donc au moins une valeur Xq comprise entre a eib pour laquelle la fonction f{x) devient nulle.

M. CoROLiAiRE ï. — Si la fonction f(x) est continue dam Vinter-

DE U COISTINIITE.

valle de a à h, si (Tailleurs f (a) et f (b) sont deux nombres inégaux, et N un nombre compris entre les précédents ^ il existe au moins une valeur \^de la variable comprise entre a ci b pour laquelle la fonction f (x) devient égale à N.

En effet, considérons la fonction <^{x) =f{x) — N. Puisque [(x) ost continue dans l'intervalle de a à &, la fonction <f{x) I*est aussi.

Or

o(a) = f(a)-^ et ^(6)=/-(6)-N,

résultats de signes contraires, puisque par hypothèse N est compris entre / (a) et f(b) ; donc il existe au moins une valeur de .r, soit x^f comprise entre a et b, pour laquelle ç (x^) = 0, c'est-àdire

Ax.)-N = ou f{x,) = y.

ss. Corollaire II. — Si une fonction f (x) reste continue quand \ croit d'une manière continue de a à h, a étant moindre que b, la fonction f (x) ne peut passer de la valeur f (a) à la valeur f (b) sajis prendre au moin* une fois chacune des valeurs comprises entre f(a) et f(b).

9M. RepréseiaUiUoB f^raphlqne d*BBe ffoBctiaa coatlave. —

Traçons deux axes rectangulaires, X'X et Y'Y, qui se coupent en ; choisissons une unité de longueur et portons sur X'X à partir de des longueurs égales aux valeurs successives attribuées à la variable a,, en ayant soin de porter les valeurs positives dans le sens Y'

OX et les valeurs négatives dans le sens OX'. A une valeur de X telle que OP' correspond une valeur de la fonction; pour la représenter on trace par P la parallèle à OY sur laquelle on porte à partir de P' une longueur P'?

égale à la valeur que prend la fonction, en portant cette

longueur dans le sens OY si la valeur de la fonction est positive, et dans le sens OY' si elle est négative.

2i COMPLÉMENTS D'ALGÈBRE.

Si, par exemple (fig. i) :

pour x = ^ y = 2, on prend 0A' = 1 et A'A = 2, pour j: = 5 y = — o, on prend OB' = 5 et B'B = 3, pour xz=z — 2 y = l, on prend OC = 2 et C'C =1, pour x = — 5y = — ,on prend 0D'=5 et D'D = 2, pour a: = 3 y = 0, on marque le point E sm OX.

Imaginons qu'on fasse varier xd*une manière continue, le point F parcourt la droite X'X et Textrémitë P de Tordonnée se déplace sur le plan, et si la fonction reste fmie et continue, ce point mobile décrit une ligne continue DGAB que nous appelons la courbe figurative de la fonction, La valeur de x, prise avec son signe, telle que OP', se nomme Yabtdue du point P et la valeur algébrique de la fonction est V ordonnée de ce point.

Les figures [2] rendent sensible aux yeux cette vérité, que si

Fig. 2.

f{a) = — A'A et /'(fr) = -HB'B sont de signes contraires, la fonction f(x) doit passer au moins une fois par zéro quand x croit de ak b, puisque Tare de courbe continue qui va du point A au point B doit alors couper Taxe X'X au moins en un point I et en général en un nombre impair de points 1, 1', V\ situés entre A' et B'. Et la fonction ne peut passer de la valeur f(a) à la valeur f(b) sans passer au moins une fois par chacune des valeurs intermédiaires.

DE LA CONTINVITÉ. 25

EXERCICES

i. Trouver entre quelles limites peut varier x pour que les fonctions y, déRnies par chacune des équations suivantes, soient réelles :

!• 2j:» — ixy -t- 4y* — Sx — 8y + 9 = 0; ^ 3x»4-6xîf — y» + 5x — 2y+ 7 = 0; 5- a^ — i2j;y-f-36y« — 2.r+4 = 0.