III] CD — BE
Mais si dans la condition 1 = 0, trouvée précédemment, on exprime
1)1 que B* — AC = 0, en y remplaçant A par -7 il reste
^ — 2BDE-hCD«=0
ou
(BE — CD)» = donc CD — BE =
donc les conditions [II] et [III] sont encore comprises dans la condition [I]
Cette expression A, qui annulée exprime qu*une équation du second degré représente deux droites, est appelée le discriminant de la fonction du second degré en x et y.
Quand Téquation est homogène, D, E, F sont nuls; quand Tëquation ne contient pas la variable y, B, C, E sont nuls; on a donc bien encore
t99. Point» et droite* imaffiiiaires. — Nous avonS été conduits,
pour généraliser, à dire qu^une équation représente dans certains cîiS des droites imaginaires.
Précisons ce que nous entendons par points et droites imaginaires.
1® Nous appelons point réel, tout point dont les deux coordonnées sont réelles; point imaginaire, un point dont Tune au moins des coordonnées est imaginaire.
Deux points sont imaginaires conjugués si leurs coordonnées sont de la forme
Sx' ^= a -\- di . l a/' = a — aï .... ^ , — j
y^ = h-^ pê '^ \y" = h- pi ' désignant v^=l
Le milieu de la distance de deux points imaginaires conjugués est un point réel. Car, ses coordonnées x^ et y^ étant les moyennes arithmétiques de celles des points donnés» on a
x,= — = a yi = ^ 2
2« On dit qu'une droite est réelle quand son équation
A.r-f-Bi/-hC =
a ses trois coefficients A, B et C réels.
Une droite imaginaire a une équation de la forme
(a -f- aï) :r -h (i -h pi) 1/ -h (c 4- yO =
Tun au moins de ses coefficients étant imaginaire.
Toute droite imaginaire a un point réel^ et un seut. Car son équation peut s*écrire :
elle est donc vérifiée par les coordonnées du point de rencontre des deux droites réelles
ax^by'hc=0 et ox-h py 4-^ = 0,
et c'est le seul point réel de la droite donnée, car une imaginaire ne devient nulle que si le groupe des termes indépendants de i et le coefficient de i s'annulent en même temps.
l.a droite imaginaire conjuguée de la précédente ayant pour équation
ar4-%-4-c — i (02: -f- Py H- y) = <^
passe aussi par ce même point réel.
Ainsi deux droites imaginaires conjuguées se coupent en un point réel.
On vérifiera facilement que si une droite passe par deux points imaginaires conjugués^ elle est réelle,
(Voir Éléments d'Algèbre par H. Bos, n"* M9, les définitions concernant les imaginaires.)
180. VUlité de la coasldénition des points et des droites Imaipiiiaires en géométrie analytlqne. — Les notions qui précèdent permettent d'expliquer certains résultats du calcul algébrique, plus généraux que ceux de la géométrie pure.
Soit, par exemple, à chercher le lieu des milieux des cordes tracées dans un cercle parallèlement à une direction OZ. La géométrie donne pour ce lieu le diamètre perpendiculaire à la direction OZ, pjg ix\.
c'est-à-dire seulement la portion
de droite CC. Si on traite la question par le calcul, on trouve la droite indéfinie D'D (fig. 211). C'est qu'en effet, quand la parallèle à OZ cesse de rencontrer la circonférence, on trouve pour les points com*
muns à ces deux lignes deux abscisses imaginaires conjuguées, et de même pour leurs ordonnées. Le milieu de la distance de ces deux points est toujours réel et appartient à la droite D'D. L'équation du cercle étant
celle d*une sécante
y — mx — X = 0,
les abscisses des points d'intersection sont les racines de Téquation,
x«-4- (m c -^ X)* — r* = ou
(i 4- m«) .r^ -h 2mXr H- X» — r« = 0.
La condition de réalité est
m»X«— (m«-hl)(X»— r')>0 ou
— X«-t-(m»4-i)r»^0 ce qui revient à
— r0HM-T< X < 4- r v/mM-1
Mais les coordonnées XY du milieu d'une corde dont le coefficient angulaire est m doivent satisfaire aux deux équations
[{] X = -=^ [2] Y = mX4-X
quel que soit X; en éliminant X entre ces équations, on a
V wi(Y — mX) V . V A
X = i-j — 7—^ ou X -f- mY =
équation de la droite indéfinie D'D menée par l'origine perpendiculairement à OZ.
§ II. — CmCONFÉRENCE
t8i. ÉqvaCion d*nnc elreonféreaee ea eoordonaées rccteagelaircs. — Il faut trois données pour déterminer une circonférence.
ÉQUATIONS PARTICULIÈRES DU DEUX1É)IE DEGRÉ. 26a
les deux coordonnées du centre a et 6 et le rayon r\ nous avons vu (n^ Sis) que Téquation de la courbe en coordonnées rectangulaires est
ou, en développant et ordonnant,
a:» -f- y' — 2aa: — 2% -h (a» -h t* — r*) = .
C'est donc une équation de 2* degré, dans laquelle les coefTicients de a:' et t/* sont égaux et celui de xy est nul; quand la circonrérence change, a, fr,r varient, mais les termes du second degré ne changent pas. Ainsi la circonférence est une courbe particulière du second degré.
%%%• CondlUoniB nécessaires et sufllsaiites pour 4n*vne équation dn second degré représente nne elreonférence. **- THÉO- RÈME. — // faut et il suffit que les coefficients des ternies en x' et y* soient égaux, et que celui de xy soit md.
En efTet, 1 équation générale du second degré est
[1] Ax^^-2BJ^y-^Cy«^-2D2:-4-2Ey^-F =
celle d'une circonférence étant
[2] .r«H-y« — 2ax— 2%4-(a»-4-6*— r') = 0.
Pour que ces deux équations représentent la môme ligne, il faut et il suffit (n^ tts) que les coefficients de tous les termes soient proportionnels; la seconde n'ayant pas de terme en xy, ce terme doit manquer aussi dans la première : donc déjà
B = et en outre on doit avoir
11 a b a*4-fr' — r«'
ce qui fait cinq conditions; donc, pour que Téquation [i] représente une circonférence donnée, dont on connaîtrait le centre et le rayon, il faut les cinq conditions précédentes.
Mais pour qu'elle représente une circonférence quelconque, les trois paramètres a, b, r étant alors arbitraires, il faut les éliminer entre
les cinq égalités précédentes; il reste alors seulement deux condition». Or Télimination est toute faite, puisque les deux premières égalités sont indépendantes de a, h et r. Les deux conditions nécessaires sont donc
RÉaPROQUE. — Ces conditions sont suffisantes, — En effet, supposons-les remplies, Téquatîon [i] devient
[1] A{a:« -+- xf) 4- 2Dj: + 2E// + F = 0.
Je dis qu'alors on peut déterminer le centre et le rayon d'une circonférence ayant cette équation ; les paramètres inconnus û, fc, r doivent en effet satisfaire aux équations :
d'où ,
