Si les trois sommets d'un triangle ABC

Fig. 214. sont mobiles sur trois droites concourantes OX,

OY, OZ, et si deux des côtés AB et BC passent

respectivement par des points fixes P et Q, le troisième côté CA passe aussi

par un point fixe qui est en ligne droite avec P et Q.

17. Lieu géométrique des points M d'où l'on voit un segment de droite donné AB sous un angle constant Y. — Construction.

18. Lieu des points dont les distances à deux points fixes A et B sont dans un rapport constant — • — A quoi se réduit l'équation si m = p?

19. Lieu des points dont la somme des carrés des distances à n points fixes est égale à un carré donné K«. — Montrer que c'est un cercle; quelles sont les coordonnées du centre?

20. On donne une parabole; on trace un rayon vecteur FM; on projette le point M sur la directrice en H et le point H sur le rayon FM en 1. Trou-

ver je lieu géométrique du point I. (Solution géométrique et solution analytique.)

21. On donne un triangle isocèle ABC; par le sommet A on mène une sécante quelconque AL ; on prend le point G' symétrique du point G par rapport à AL. — !• Lieu du point G'. 2* On trace BG' qui coupe AL en M, lieu du point M. (Solution géométrique et solution analytique) (fig. 215).

Fiff..216.

22. On donne une circonférence I et une corde AB; on trace par îe point A une sécante quelconque AG sur laquelle on prend de part et d*autre de G des longueurs GM = GM' = CB. Lieu des points M et M'. (Solution géométrique et solution analytique) (fig. 216).

25. On donne quatre points A, B, G, D sur une droite. Trouver le lieu des points H d*où Ton voit les deux segments AB et GD sous des angles égaux. — Condition de réalité du lieu. Construction et discussion. Cas où AB=:CD.

24. On donne deux circonférences tangentes en un point 0; par ce point de contact on trace deux cordes rectangulaires OA, OB. Lieu géométrique du milieu de AB quand Tangle droit AOB tourne autour de son sommet.

25. On donne deux circonférences. Lieu du centre d*une troisième circonférence qui coupe chacune des deux premières en des points diamétralement opposés.

26. On donne deux axes rectangulaires OX, OY et une sécante mobile coupant OX en A, OY en B, et dont la longueur AB est constante et égale à /. Lieu du centre de gravité du triangle OAB.

27. On donne une circonférence 0, dont AB est un diamètre. Lieu des points M tels, que le carré construit sur la tangente MT soit équivalent au triangle AMB (fig. 217).

28. On donne deux points fixes et B, soit OB = a ; on trace par le point une sécante quelconque OZ sur laquelle on prend la longueur OA := 20B. Lieu géométrique du centre de gravité du triangle OAB qua^d OZ tourne autour de (fig. 218).

29. Démontrer que les axes radicaux de trois circonférences groupées deux à deux sont trois droites concourantes.

50. La base BG d*un triangle est fixe et le sommet A est mobile sur la

Fig. us.

perpendiculaire OY; on joint le milieu M de BC au point de concours H des hauteurs du triangle et on abaisse sur MU la perpendiculaire AP. Lieu du point P. En quels points cette ligne coupe-t-elle OY (fig. 219)?

51. On donne une circonférence; par un point A de cette courbe on trace une sécante qui coupe la circonférence en un deuxième point B, et sur cette sécante on prend un point M tel, que MA x MB = K>» Trouver le lieu du point M. (Examens oraux.)

52. On donne deux points fixes A et B sur OX, deux droites AC et BG

tournent autour de A et de B de manière que la différence GBX — GAX reste constante. Lieu du point G. (Examens oraux.)

35. On donne deux axes rectangulaires, un point A sur OX et une droite OZ menée par Forigine ; on abaisse de A la perpendiculaire Ali sur OZ, et on prend sur OZ, OM := AH. Lieu du point H quand OZ tourne autour de 0, (Examens oraux.)

54. On donne deux axes rectangulaires, un point A sur OX; on trace une droite OZ dont le coefGcient angulaire est m, et une droite AV dont le coefficient angulaire est m\ On suppose m et m' liés par la relation

mm' H- m + m' + i = 0.

Lieu du point de rencontre des droites OZ et AV. (Examens oraux.)

55. On donne deux axes rectangulaires XOY et une sécante qui coupe OX en A, OY en B. Calculer les rayons du cercle inscrit, des cercles exinscrits et du cercle circonscrit au triangle AOB. (Examens oraux.)

56. On mène une parallèle B'C' h la base BG d'un triangle ABG et on trace les circonférences qui ont pour diamètres BG' et GB'. Démontrer que

Fig. 220.

Taxe radical de ces deux cercles est la hauteur qui passe par le sommet A. (Démonstration géométrique et démonstration analytique) (fig. 220).

57. Une droite qui coupe X'X en A et Y'Y en B, se déplace de telle sorte que

OA UB h

1* Montrer que cette droite passe par un point fixe.

S"" Lieu de la projection de Uorigine sur cette droite. (Examens oraux.)

58. On donne un point A sur OX» un point B sur Oy et Ton trace une série de circonférences ayant pour centre le point ; on mène Taxe radical du point A (cercle de rayon nul) et de la circonférence 0, celui du point B et de la circonférence 0. Trouver le lieu géométrique de leur intersection quand le rayon varie.

59. On donne quatre points en ligne droite, ABA'B'; sur AB et A'B' on décrit des arcs capables d*un même angle Y. — 1* Montrer que si Tangle Y varie, Taxe radical des circonférences tù et co' ainsi tracées passe par un point fixe ; 2* lieu des points d'intersection de ces deux circonférences ; 5"* lieu du milieu de leur corde commune.

40. On donne la circonférence 0; un point G est mobile sur cette circonférence : on trace les cii*conférences circonscrites aux triangles AOC, BOG; soient D et E leurs centres. — i* Montrer que le produit des ordonnées des points D et E est constant ; 2* on trace AD et BE qui se coupent en M; lieu du point M; 5* on trace GM; lieu du milieu de GM; 4" montrer que les cinq points 0, G, D, E, M sont sur une même circonférence (fig. 221).

41. On donne une circonférence et deux points A et B situés sur un

diamètre OX ; on trace un autre diamètre PP et on fait passer une première circonférence G par 0, A et P, une deuxième circonférence G'

ur\

Fig. 221.

par 0, B, P'. Trouver le lieu du point M où se coupent ces deux circonférences quand le diamètre PF tourne autour du point (fig. 222). — Que devient le lieu !• si A et B se confondent? 2* si AB=:2r?

m' GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

• 42. On donne un triangle ABC; on joint un point M aux trois sommets et l'on- trace en A la perpendiculaire à MA, en B la perpendiculaire à MB, en G la perpendiculaire à MC. — 1* Trouver le lieu du point M pour que ces trois perpendiculaires soient concourantes ; 2* quelles sont les positions relatives du point de concours Pet du.point M? 3* quel est le lieu du point P quand M décrit son lieu géométrique?