I. — TANGENTES ET. NORMALES

t90« CoefBclcnt anfolalre de la tangente en mi point d'une conribc. — Théorène. — Le coefficient angulaire de la tangente en un point donné d*une courbe eit égal à la valeur que prend la dénvée de V ordonnée d'un point de la courbe par rapport à rab$cisse, quand on y remplace X et y par les coordonnées du point de contact.

En eiTet, on sait (n^ 48) que la tangente on H est la limite d*une sécante MM'S passant par M et par un point M' situé sur le même arc de courbe AMB, lorsque ce deuxième point M' vient se confondre avec M (fig. 223). Soient^, y les coordonnées du point M, a: -4- A, y -h* celles du point M'; le coefficient angulaire de la droite MM' est égal (n® Mi) au rapport de la différence des ordonnées de ces points à la dilTërence de leurs abscisses; donc

Fig. 223.

Quand le point M' se déplaçant sur la courbe s'approche indéfiniment du point M, la différence des abscisses A tend vers zéro, et, comme Fordonnée y d'un point de Tare continu AMB est une fonction continue de l'abscisse (fonction définie par l'équation de la courbe), l'accroissement k de cette ordonnée tend aussi vers zéro et

GÉOMÉTRIE ANALYTIQIE.

le rapport j tend vers une limite qui est la dérivée de Tordonnée par

rapport à Fabscisse ; mais il faut avoir soin de remplacer dans cette dérivée x eiy par les coordonnées du point M.

Ml. l^ ca$. — L'ordoBBée y est une fonction ezpUelie é» X,

— Si l'équation de la courbe est résolue par rapport à y, c'est-a-dîre est de la forme y = f(x), le coefficient angulaire de la tangente en un point H, dont l'abscisse est x^, a pour expression

Exemple. — Soit Téquation

y=j-[x*—(a-hb)X'hab\

Cette équation est vérifiée par a:=a, y=0, et par j: = 6, y=*0; la courbe passe donc en A et en B (fig. 224).

Le coefficient angulaire de la tangente a pour expression générale m=f'(x), c'est-à-dire

Fîg. 22i.

Au point A, dont l'abscisse est a.

et au point B» dont l'abscisse est fr.

donc, en appelant a et p les angles que font ces tangentes avec OX, ou a (n'* Mt)

AB , ^ tanga=m4=^ tangp= — m, — — tanga