Intégrer Véquation différentielle du premier ordre

(Lille, novembre 1880).

On a

^ ~~ ~~ dx\ dx 2

équation linéaire en x et jk> que Ton intègre en commeDçant par la différentier. Posant

on a

Éliminant -—- entre les équations (i) et (2), on a l'intégrale cherchée

24. Trouver les courbes dont les coordonnées rapportées à deux axes rectangulaires satisfont à V équation différentielle

(École Normale, juillet 1878.)

En posant -^ =1: /?, -^ ^ ^, on a, entre z et /?, la relation

dz ^ (3^2 —})dp ^ , / 4/> 1

^ , dp (i-^p^y

z — -j- — — Li j

-u dy

diC(x— -7o)=^arc8in v/G(a7— aro) -h /G^x— ;^-o) [i — C(a7 — a-o)J»

d'où, par un transport d'axes coordonnés,

±1 Cy =z arcsin /c5-f- v/Ca7(i— C^);

ces courbes sont semblables et ont Torigine pour centre de similitude; si Ton construit Tune déciles

±y = arc sin /z± a? -f- y/iii J7( i q= a?),

on obtient une courbe symétrique par rapport aux axes, ayant pour axes 2 et 7t et composée de deux demi-ovales tangentes à l'axe des y ; transportant celle de gauche en ^0 = 2, on a une courbe fermée.

25. Intégrer le système de deux équations différentielles simultanées

( Paris, juillet 1873.)

En éliminant x entre les deux équations proposées, on arrive à l'équation différentielle du quatrième ordre

qui a pour équation caractéristique

l'intégrale de l'équation (2), sans second membre, est

(3) j^ = (Gi-H C2^)cos2f -+-(C3-+- Ci,t)smit,

Pour trouver une intégrale particulière, on pourrait employer la méthode du n°16; nous suivrons une marche analogue à celle du n® 14 ; nous remplacerons le second membre dé l'équation (2) par cos kt^ et nous en déduirons

comme solution particulière

cosA'^ __ I cos kt

^^'^ A:*— 8Ar«-M6 ~ (A: -4- 2)» {k^^^'

posant

on a

r.= (4:^,îcos.*[A---^ + e.(o]-sina*[£-HO,(o]j

ou, en faisant tendre e vers zéro et tenant compte de l'équa lion (3),

ce qui donne finalement

y = cos2t ( Ci-h Cit — — j -f- sin2^(G3-l- C^O»

-h sin2^ T— (4G2+ G3) -f- t (j — G*)] .

26. 1° Intégrer les deux équations différentielles simultanées

idiy dy « dz dy d^z ^ dz

-f- H-27H- -T-i -1-3-1- -i-3z=io.

dx ^ dx^ dx

2° Intégrer les deux équations simultanées l d^y ^dy ^ dz

Obis) J5îi-55î + '3-^^S + ^*'^ = ^"'

J dy d^z ^dz

(École normale, juillet 1874.) î" Nous procéderons par la méthode d'élimination.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3l

Si l'on dérive la première des équations et qu'on en retranche la seconde, il vient

dz d^y r^y dy

^S ~~ 3^ <ir' dx '^^

. . . dz

:|ui, jointe à la première, fournit deux équations en ~

3t ^ ^ on en déduit, en les résolvant,

, dz d^y d^y dy

Éliminant z entre ces dernières, on a l'équation ,ov d^y d^Y dy

donlVéquation caractéristique est

qui fournit l'expression dej^; celle de z s'obtient ensuite àl'aide de la seconde des équations (2).

La solution cherchée est donc

^** Pour trouver une solution particulière, y^^ Zq des équations (i 6w), la méthode générale consisterait à poser

a substituer ces valeurs dans les équations (i bis) et à an-

nuler dans chacune d'elles les coefficients de e* et de e"^; on obtiendrait ainsi quatre équations du premier degré fournissant les valeurs des quatre constantes a, 6, a et ^. Elle conduit dans l'exemple actuel à des équations incompatibles, ainsi qu'il était facile de le prévoir; cette méthode, en effet, doit être en défaut, puisque eP^ et e~^ sont solutions de l'équation (3). Procédant par la méthode d'élimination, on arrive à

en y appliquant la formule du n° 14, on trouve l'expression de ^0 î Ja formule

donne ensuite Zq, On arrive ainsi à