ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC

d'où l'équation différentielle du lieu

. ^ l dz dz\

les équations à intégrer sont

, , dx dv

^2^-7» =:Cî, ^î=Ci±2K»arcsinj^; ' (3) 5*=<p(a^«H-7«)zt2K*arctang^.

Pour que cette surface contienne Taxe des x^ il faut que la fonction ç soit nulle

z^ — ±i 2K ai anff —

ou, en coordonnées cylindriques,

c'est l'équation d'une surface réglée à plan directeur, dans laquelle les ordonnées sont égales aux carrés de celles d'un hélicoïde gauche.

La trace de ce conoïde sur un cylindre circulaire droit ayant Oz pour axe a po^ir transformée, dans le développement, une double parabole dont l'axe est la section droite du cylindre.

30. Déterminer toutes les surfaces qui satisfont à la <^ondition

op.mn = xôm\

^<^ns laquelle X désigne une constante donnée, O rori- S^fte des coordonnées, M un point quelconque de l'une des surfaces, P le pied de la perpendiculaire abaissée

de O sur le plan tangent en M, et N la trace de U maie en M sur le plan XOY.

(Paris, novembre 1875, 2* qucsl

On a

dz dz

v/«-^(èy-^($y

d'où l'équation aux dérivées partielles

qui s'intègre en posant

, ^ dx dy zdz x dx -\- y dy -\-

d'où

et enfin l'équation finie

(3) ^2 -h 7* H- -3» = iF2(l*>^) <p /'•^ j ,

qu'on peut mettre encore sous la forme

En coordonnées polaires, cette équation prend la simple

{%ter) p = (sine) XF(t^).

31. Trouver V équation aux dérivées partielle surfaces décrites par une droite qui se meut en re trant une droite fixe sous un angle donné.