CHAPITRE PREMIER
1. Trouver les aires des boucles formées par les courbes dont les équations suivent :
Dans les deux cas n désigne un nombre entier positif .
(Glermont, novembre i88o.)
i" L'équation de celte courbe unicursalcj en coordonnées polaires, est
rt (sinoi coswy ^ cos-'»-'-* (I) -h sin2"-<-* (0
l'aire de la boucle est donc
I r^ ^j **' /''tang^^toc? tangci) n^
" 2 Jq ^ ~~ 2 Jq (I■^-tang^«-^-»lo)* "" «2(2/1-1-1/
ViLLiÉ. — Compositions.
2° En suivant la même marche, on trouve
a' cos"-* o) sin"-* w
^ cos*'*a) -+- sin^'ïa)
A = — / — ^ — o = — [arc tang(tang«to)]' = -— -
2. P«r ^extrémité A rfw diamètre AB rf'w/i cercle donné (Jig. i), o/i /né/ie w/ie corde quelconque AC, /?mw o/i prend, à partir du point A, ^wr /e diamètre AB, w/ie longueur AD = AC. O/i demande le lieu du milieu M rfe5 droites telles que CD.
Construire la courbe et déterminer Vaire de la portion du plan qu^elle renferme,
(Lille, juillet i865.)
Soit le diamètre AB ^=.ia\ l'équation de la courbe est
p = AD coso) = 2a cos2(o costo.
D'après les données, o> ne peut varier que de — j à + - ;
les valeurs négatives de p fournissent deux boucles parasites.
L'aire cherchée A de la boucle principale est donc
A = 2a' / COS'O) C0S'2(i)£/(i)
='^'iv
COS2to)(l H- COSibi)d(ii
-/ sin2(i) sin4to\* a» r\ . . ,
= a» ( (0 -i ! ; — ) H / (cos6io-4- cos2to)rt(o
\ 2 i Jo ^Ja
IZ
= a» ( (0 -f- - sm2a) -h - sin4a) -i sinôo) )
» 3. On donne un cylindre droit vertical dont la base est un cercle de centre O et de rayon a. Une courbe tracée sur ce cylindre jouit de la propriété que, M désignant un point de cette courbe et MT la tangente correspondante, la projection du rayon vecteur OM = r sur cette tangente est constante et égale à une ligne donnée K. Le point M est défini par V ordonnée verticale z et par V angle io que la projection horizontale OP de OM fait avec le rayon Jixe OA. On propose de :
1° Trouver la relation finie qui existe entre z et lo;
2° Trouver en fonction de z ^expression s de Carc de la courbe;
3** Calculer Vaire cylindrique comprise entre deux génératrices données et les arcs qu^elles interceptent sur la courbe et sur le cercle de base.
(Montpellier, novembre 1879.)
1^ On a
//-\ii;f nirrix X dx -\- y dy -\- Z dz z dz cos(OM,MT)= ^ =^^,
en tenant compte de Téquation différentielle du cylindre
X dx -^y dy = o,
K = rcos(OM, MT) = ^- = ^ "^^
'^s sj dz^ -\- a^ disy^
±. aK{ui — iMQ)=j^z'^—K^dz,
± 2aK(a) — a>o) =zz^z^— K2 — K« log ^ "^ ^^ ^^ .
La constante arbitraire Wq répond à l'ordonnée minimum ;>o = KL de la courbe qui admet pour tangente en ce point la génératrice du cylindre.
2° L'arc de courbe compté à partir du point d'ordonnée minimum est donné par la formule
3" Enfin l'aire cylindrique comprise entre la courbe, la base du cylindre et les ordonnées Zq et z est
A= / z.adiM--= j -^— ^ dz= —(-^—K-^y,
