Le centre d^une sphère parcourant une hélice
tracée sur un cylindre circulaire droit, Venveloppe
des positions de la sphère est une certaine surface
canal; déterminer Vaire de la section faite dans cette
surf ace par un plan perpendiculaire à Vaxe, Chercher
le rapport de cette aire au grand cercle de la sphère
génératrice.
(Lille, novembre i868.)
Un plan normal à l'axe du cylindre coupe chaque sphère suivant un cercle dont le centre O {fig* 2) est sur le cercle de base du cylindre; l'enveloppe de tous ces cercles donne
la section de la surface canal. Deux cercles infiniment voisins, de centres O et 0|, et de rayons r et r-^dr^ se coupent suivant une corde AB ; nous prendrons pour aire élémentaire celle qui est comprise entre AB et la corde infiniment voisine, et pour variable indépendante l'arc
Fig. 2.
s = DO de base du cylindre, compté à partir du point de D où l'hélice perce le plan de base.
L'aire élémentaire cherchée
dK = XB{ds->rd,ÔÏ)\ or les triangles rectangles OIA et 0R0| donnent
01 =— r -j-j as
d'où
AI = ri/ 1— ( -7- I :
d'ailleurs on a, en appelant a le rayon de la sphère génératrice et m la tangente de l'angle que fait l'hélice avec la
base du cylindre,
as
d. 01 = m^ds et AI = v/«*— 77i*(i-i- 77i*)5*;
on en déduit
dX = 2(1-4- m'^)ds v/a*— 77i*(i-h m^)s^.
Pour trouver les limites entre lesquelles on doit intégrer l'expression précédente, nous écrirons que deux cercles infiniment voisins se coupent, autrement dit que la distance ds de leurs centres est plus grande que la différence
- m^sds
— dr =
>Ja> — 771* 5* de leurs rayons, ce qui donne pour limite supérieure
On a donc
f ds y/a*— 77i*(i-+- 77i*)52
[a* arc si 771 yH- 771*
sin s
A=ua*^i+^
Le rapport cherché est 4/ n 5; il est indépendant du
rayon du cylindre.
Quand l'hélice est une génératrice du cylindre, /n = 00 , A = 7ca2, et quand elle devient la base du cylindre, m = o, A = 00 ; on a en effet, alors, une infinité de couronnes superposées.
