Déterminer les fonctions uetv de deux variables

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES, ETC. ^l

indépendantes x et y, dont les différentielles totales vérifient les relations

( dv = {u-\- '±ç)dr -\-(u-\- v)dy,

(Paris, novembre i88i.)

Première méthode. — On a les équations linéaires simultanées

du .. d%'

— -=3aH-i2r, -7-=a-T-2r,

dx dx

du dv

dy dy

£n les intégrant par la méthode de d'Alemberl, on a, pour les équations (2),

3H-Ô = a, i2-i-26 = a6, 62-^6 — 12 = 0, 61 = 3, ai = 6; 62 = — 4, a^^ -\.

^^tstituant dans l'intégrale

^^ a successivement

Procédant de même pour les équations (3), on obtient (5) a-!-3i' = F,(j?)e8r, u — !^v — Fî(a:)e-«r.

Les équations (4) et (5) exigent que l'on ait (6 ) M -+• 3 i' = Cl c«'+6r, w — 4 p = C2 e-*-»r ;

d'où

l " = i(4Cie«^+5:K-i-3G2e-^-»0,

Deuxième méthode. — Prenons u et v comme variables indépendantes; à cet effet, tirons dy et dx des équations (i) :

[ / __{u-^ v)du — {iu-\-\iv) dv

\ u^ — UV — VIV^ '

on a, en intégrant ces différentielles totales,

|:r-hGi= j[51og(w — 4iO-^alog(w-i-3p)], ^ (7-4-G2=-}[61og(?^- {p)-f- log(w-f-3p)];

d'où l'on tire u el v sous une forme qui se ramène facilement à la précédente,

Troisième méthode. — Formons les équations aux dérivées partielles

du du __ dv ds>

dx dy ' dr dy '

on en déduit

(11) u = e^f^{x-^y), s> = e^fi{r-^y).

Pour déterminer les fonctions /i et /2, on pourra substituer les valeurs de m et ç' dans les équations qui donnent,

par exemple, ;7~ et -r-; on sera conduit à des équations simultanées

(la) /l = 2/1 -1-2/2, /2=/l-4-/2,

identiques à celles que nous avons obtenues par la première méthode, et qui donnent

(i3) /•^^-3/J=Cle5(^-^r^ f,- ^f^=C^e-^^^^y\