Intégrer Inéquation aux dérivées partielles

dx dy

Où peut ramener cette équation à la forme linéaire, en

considérant x comme la fonction à déterminer. On a en

effet

dz , dz ,

rf'où

''- dx^-'^dy"^'

dx = -f- dz Y- dy ;

dz dz -^ '

dx dx

^^ en déduit

dx I dx dy dz dz' dy dz

dx dx

^ui permet de transformer l'équation (i) en la suivante :

ftii » dx dx

0^^ en posant -^=P^ Tz'^^'

('ibis) zq^-i-p = o.

Dérivant cette équation par rapport à ^, on a l'équation linéaire en <jr,

dont l'intégrale est

Les équations (2 bis) et (4) fournissent p et q, mais, à cause de la fonction indéterminée /, il est impossible de ' pousser plus loin, en général, l'étude de la question. On y arrive, dans le cas actuel, à Taide d'un artifice; on a

(5) dr = d{py -^ qz) — (y dp -h z dq),

donc

(G) ydp^zdq = Y- -+•«?'(—/?) Je?/?— ^idq

est une différentielle exacte. Si on la forme, l'équation (5)^ en l'intégrant, donne

(7) X ---. yp ^ zq -^ t]^{ — p) — ^*

On a donc, entre x, y, 2, p et ^, les trois relations (2 bis), (4) et (7) entre lesquelles il faudrait éliminer/? et q. Or l'équation (7) est celle d'un plan, et les équations (4) et ( a bis) ses dérivées par rapport k p et q; donc la surface est l'enveloppe du plan mobile (7) dans l'équation duquel/? et q sont considérées comme des constantes arbitraires. On obtient une infinité de surfaces déterminées par leurs plans tangents , quand on fait varier la forme de la fonction (p.

il;