CHAPITRE IV
37. On donne une série de courbes (C) représentées en coordonnées rectangulaires par l'équation
^à a est une constante arbitraire.
On demande :
'° L équation différentielle qui représente toutes les courbes (C);
2^ V équation différentielle des trajectoires orthog<t- ^dles des courbes (G) ;
3° V équation en termes finis des trajectoires orthobanales des courbes (C).
(Paris, novembre 1873.
1° En difFérentiant réquatîon
On obtient
3 a?^ -1- v2 ^jp
^'où, pour l'équation cherchée,
2® Celle des trajectoires orthogonales des courbes (C)
est
(3^ 32:^ + (zy$:+, = o.
^ X dx \xj dx
3® Pour intgérer cette équation homogène, posons
elle devient, par l'élimination de j' et dy^
dx I ;; -H 3 , o = i r — r> dz,
d'où, en intégrant,
x{z -Hl) yZ-s -4- 2 OU
(4) ir2-4-j23= Cy/y^-^T.x"-.
C'est une courbe ovale comprise entre les cercles de rayon C et Cy/2.
On arrive plus rapidement par l'emploi des coordonnées polaires. L'équation des courbes proposées se niel sous la forme
n ois) '2a = ^—T-z — :
sm-'o)
leur équation différentielle est
, , . dp 1 -{- cos^w ,
(2 OIS) — ^ = -; ao),
p sinwcoso)
et celle de leurs trajectoires orthogonales (Ci) s'obtient par la relation
-'■'$)cQc,= -
elle est donc
,^ - . , dp sino) Costa - (3 ois) -J. = — - doiy
^ ^ p I-hCOS^O)
qui s'intègre immédiatement et donne, pour Téquation des courbes cherchées,
{^bis) p = Cy^i-l- cos*(o.
38. Troui^er les trajectoires orthogonales des courues représentées en coordonnées polaires par l'équation
dans laquelle c est un paramètre variable; le signe \o^ désigne un logarithme népérien,
(Paris, juillet 1877, ^^ question.)
L'équation différentielle des courbes proposées est
dtù p sin^o) ^ dp ~~ «2 '
celle de leurs trajectoires orthogonales est, par suite, qui, par l'intégration, devient
G — cos2a>
ou, en coordonnées rectilignes,
famille de courbes du second degré ayant pour axes de symétrie les axes coordonnés.
39. Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes définies en coordonnées rectangulaires par V équation
dans laquelle a désigne un paramètre variable.
(École Normale, juillet 1879.)
L'équation proposée représente deux familles niscates semblables dont les axes sont les bissectr axes coordonnés; leur équation différentielle est
.\(x dx -^y dy) r dr -^ x dy
x^-^y* xy
et celle de leurs trajectoires orthogonales
\{x dy — y dx) y dy — x dx
x^ -h y^ xy
ou
y dy{3x^ — y^)-\- x dx(x^ — ^y^) = o;
c'est une équation homogène dont l'intégrale gêné
.7-2 4 yt
yx^—y'^ ou, en coordonnées polaires,
qui représente des lemniscates semblables.
L'emploi des coordonnées polaires est un pe simple; on trouve, pour l'équation différentie courbes proposées,
— !- = cot2a) diù
et, pour celle de leurs trajectoires orthogonales,
— ^ = — tan&rao) do)
qui s'intègre immédiatement.
40. Déterminer les trajectoires orthogonal courbes qui sont les positions successives d^une plane fixe {0) tournant, sans changer de Jorme, . d'un point O de son plan,
(Paris, novembre i883, a* que*
Nous prendrons l'équation générale des courbes (C)
sous la forme
w-hC =.Ap);
leur équation dififérentielle est et celle de leurs trajectoires orthogonales Ces trajectoires, dont l'équation est
sont donc comme les proposées, des courbes qui s'obtiennent par la rotation de l'une d'elles autour de O.
^1 les courbes (C) sont des cercles passant par l'origine, on trouve, pour leurs trajectoires orthogonales, les courbes
d = arc sin -* H 4 / — x » •
il. Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes représentées par l'équation
'étant le paramètre variable,
(Bordeaux, novembre i88o.)
L'équation (i) représente une famille de cercles ayant leurs centres sur O^ et tels que le rapport des distances des divers points de l'un quelconque d'entre eux à deux points fixes A et B est constant; ces points A et B sont situés sur l'axe des x, de part et d'autre de l'origine, à la distance a.
ViLLiÉ. — Compositions. 4
5o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE lY.
Leur équalion différentielle est
et celle de leurs trajectoires orthogonales
(3) '^^y—i — Hj2 — x--\-a'^ = o.
L'équation (3) se déduisant de (a) par la permutation de X ely et le changement de signe de a^, on peut en conclure, a priori, que l'intégrale de l'équation (3) est
(4) r-'^y'^— aCr — a2=o;
elle représente une famille de cercles passant par les points fixes A et B.
L'intégration de l'équation (3) est d'ailleurs immédiate, si on l'écrit sous la forme
lyi^x dx-v-y dy) — (/^-l- x^ — a^)dy = o.
L'équation (3) rentre dans un type d'équations ne contenant que des termes de degré oet 2 parrapport aux variables ^et^ et que l'on sait intégrer; nous exposerons la méthode en l'appliquant à cette équation. Si l'on pose
dv
.r-.-u, y.= . et ^=^,
l'équation (3) prend une forme linéaire en u et (^,
qui donne par dérivation (n" 23)
du ___ dp
