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MGNKS ET SURFACES ORTHOGONALES. Jl
d'où
(6) /ir7^.^(:ip^p±ii.
p -hJ
l'élimination de p = '■ 1 entre les équations ( j) cl
(6) donne
/ ; n /t'iw — «*)
qui conduit à Téquation (4) précédemment obtenue.
42. Trouver les courbes telles que, si par le point N où une normale quelconque MN rencontre Vaxe Ox on mène une parallèle à la tangente en M, cette droite passe par un point donné A sur Vaxe Oy,
Trouver les trajectoires orthogonales de ces courbes.
(Poitiers, juillet i88o.)
On voit, a priori, que ces courbes sont parallèles et adooiettent pour trajectoires orthogonales une famille de droites.
L'équation de la droite NA est
/ fiv\ dy
\ dx / dx'
si l'on pose OA.=:a, on a, pour Téquation différenlieilc
des courbes,
/dvY dy
et, pour celle de leurs trajectoires orthogonales,
dy /dry
Cette dernière est l'équation de Clairaut; elle représente la famille de droites
(3) y=zCx — aO,
enveloppées par la parabole
qui est solution singulière de Téquation (2).
L'intégrale de Téquation (i) s'obtient en dérivant
ce qui donne
L J pH^-^p^) J
or
Les équations (i bis) et (5) donnent les coordonnées j>' et X des courbes cherchées en fonction de la variable auxiliaire p.
43. Étant données des ellipses semblables ayant même sommet et leurs axes dirigés suivant la même droite, déterminer les courbes qui les coupent toutes sous un angle donné. Faire l'intégration :
I" Quand les ellipses se réduisent à des cercles; "î" Quand V angle donné est droit,
(Lille, juillet 1862.)
Si Ton prend pour origine le sommet fixe et pour axe des X Taxe commun, l'équation de la famille d'ellipses données est
(t — kay
/' étant un paramètre variable; on en déduit, pour l'équation différentielle de ces courbes,
>. a-xy-J^ H- b'^ .r-— a'^y- = o.
Soit m la tangente de l'angle sous lequel les ellipses sont coupées par les courbes cherchées (C); on a
dy
d'où, pour l'équation différenlielle des courbes (C),
•}.a-xyy
dy'
dx
\ ^ (^,2^2 rt2v2) /
I qr m -^ =0.
dx '
Cette équation, étant homogène, représente une famille de courbes semblables ayant l'origine pour centre de similitude; on l'intègre en posant
d'où l'équation
dx 2 «2 - =b m ( «2 ;;2 — ^2^
dz = o.
Le problème est donc ramené à la quadrature d'une fraclion rationnelle, et sa solution ne saurait être poussée plus
loin, puisqu'il faudrait connaître les racines du dénomin teur, qui est un polynôme du troisième degré en z.
i" Si les courbes se réduisent à des cercles, a = b Téquation (4), en prenant d'abord les signes supérieur devient
dx m z- -^ -xz — m ,
(3) i-- ^— .dz = o
ou
dx iz dz m dz
dont rintégrale générale est, en rétablissant le doub signe de /??,
(6) • x^^y^=iC{x±:my)\
ce sont deux séries de cercles passant à l'origine et qui o leurs centres sur les droites
(7) y=z^.mx.
'À^ Si l'angle donné est droit, m = oo , et l'on a
dx a'^z'^—b^
X a^z^-\-{ia^ — o^)z
que l'on peut écrire, en décomposant en fractions simpL
/ o 1 «X <^^ b^dz «2 dz «2 dz
X Z i/62—2a2 ' y/b^ — ia^
dont l'intégrale est
( 9 ) a2j2 -H ( 2 a2 — 62 )^2 — Cytt^
ou, en coordonnées polaires,
!!lr:fJ}l a2sin2(o-f-(2a2 — ^/2)cos2w
(i.jbis) p «* = — ^-;
Csin«'a) Si b''<i7.a'^ ces courbes sont fermées; elles se co
fondent et deviennent Taxe des x si b-^^ la-. Enfin elles ont des branches infinies qui se coupent à l'origine, si J2>2a2.
41. On donne une sphère et une droite D, déterminer lesprojections sur un plan perpendiculaire à la droite D des trajectoires orthogonales des sections faites dans la sphère par les plans menés suivant cette droite,
(Paris, novembre 1876.)
La Géométrie conduit très simplement à la solution de
Fi{J. 3.
ce problème. Prenons pour plan normal à la droite D (/ig- 3) celui qui passe par le centre O de la sphère; un plan quelconque, mené par la droite D, coupe la sphère suivant un cercle de diamètre AB, et les génératrices du cône droit tangent à la sphère le long de ce cercle, touchent
les trajectoires orthogonales de AB; or les sommets C de tous ces cônes sont sur la polaire de D; les trajectoires orthogonales des sections telles que AB sont donc les cercles déterminés dans la sphère par des plans passant par la polaire CC du point D, et leurs projections sur un plan normal à D sont des ellipses ayant une corde de contact commune.
Analytiquement on a, pour l'équation de la sphère,
celle d'un plan sécant est
d'où
dy dx
par l'élimination du paramètre variable m, on a les équations différentielles des courbes d'intersection
(i) X dx -^y dy -- zdz = Oj {x — a) dy — y dx = o.
Leurs trajectoires orthogonales satisfont aux équations
(2) Xd\-\-Y dX -\-ZdZ = o, dXdx-^dY dy-^dZdz=o\ or les équations (i) nous donnent
dx dy — ^ û?>s
a- -a y xyx — a)-h/2*
la seconde des équations (2) peut donc s'écrire
(X -a)dy^-^ Y dX H- ^ ^ dZ = i>
Là
OU
(3) -~ad\-^ (aX — r2) — - =0
dont l'intégrale est
(4) aX-r2=CZ;
LIGNES ET SURFACES ORTHOGONALES. oy
c'est Péquation de la projection des trajectoires orthogonales sur le plan des xz : elle représente une famille de plans passant par la droite fixe GIC, dont les équations
sont
Ces plans coupent la sphère suivant des cercles dont les projections sur le plan xOj^ ont pour équation
ou
(5) X2(a2-i-G2)H-G2Y2— 2ar2X = r2(C2— r^j,
équation qui représente une famille d'ellipses ayant leur grand axe parallèle à Oy. Ces courbes sont réelles si elles coupent Taxe des ^, ce qui donne la condition
toujours vérifiée si r <C et, c'est-à-dire si la droite D ne coupe pas la sphère ; dans le cas de a << /', elle exprime <pe le plan (4), qui passe par la j)olaire du point D, rencontre la sphère donnée.
lo. Etant donné le parabololde elliptique
déterminer les projections sur le plan xOy des trajectoires orthogonales des sections de la surface par les
plans qui passent par son axe.
(Paris, juillet 1882, 2" question.)
En procédant comme dans le problème qui précède, on trouve pour les équations diflFérentielles des courbes de
section par des plans menés par l'axe
xdx y dy dz dx dy
que Ton peut mettre sous la forme
X dx y dy
(i his)
dx dy
dz
d'où,
en
substituant dans Téquation,
d\ dx -
^ d\ dy
-^ dZdz
Xd\
; Xd\-
^iZdZ :
dont l'intégrale donne les ellipsoïdes
aplatis et de révolution autour de OZ; ils coupent le paraboloïde donné suivant les trajectoires orthogonales cherchées. L'équation générale de la projection de ces courbes sur le plan des xy est
Ce sont des courbes du quatrième degré, symétriques par rapport aux axes coordonnés et dont l'équation, en coordonnées polaires, est
(5 bis)
co sin*to
Pi
elle n'admet qu'une racine positive en p^. En la mettant sous la forme
