IP
sin2to
si q <Cpj on voit que p^ est d'autant plus petit que sin-to
est plus grand; les axes des courbes (5) sont donc dans le même ordre de grandeur que ceux de l'ellipse de section du paraboloïde par un plan parallèle au plan des xy,
46. Déterminer les trajectoires orthogonales de l'un des systèmes de génératrices rectilignes d'un hvperbo- ' loîde de révolution à une nappe,
(Paris, juillet 1876, 2' question.)
Nous définirons l'hyperboloïde par le rayon r de son cercle de gorge et Tangle y que font les génératrices avec l'axe; nous prendrons pour variable indépendante Tangle 6 que fait avec une droite fixe O^, menée dans le plan du cercle de gorge, la plus courte distance d'une génératrice et de Taxe Oz de Thyperboloïde.
Les équations des deux systèmes de génératrices sont
. , X — rcosO y — rsinO z
il) : : = — -. = •
zhsinYsinO ipsin-ycosO cosy
Les trajectoires orthogonales de ces lignes satisfont donc aux trois équations
Idx sin 6 — dy cos ^ . : dz cot 7 — o.
v^, a: = reosO -*- j tangY sinO,
\ y z= r sinO zr. z tangv cosO.
Des deux dernières on déduit
dx sin 6 — dv cosO =Thdz tang •; — /• d^,
d'où
rd^ ~±:dz{ tan g 7 -î- cot 7 ).
Cette équation, en l'intégrant, donne
/• sin o V (3) z=±: '^^'"^-' 0-;-C,
qui, avec les deux dernières équations (2), détermine la famille des courbes cherchées.
6o FR£M1ÈU£ PARTIE. — CDAPITRE IV.
On voit que chaque courbe monte en spirale sur Th}perboloïde, z croissant ou décroissant proportionnellement à 6, suivant le système de génératrices rectilignes que Ton considère. De plus, les courbes de l'un des systèmes se déduisent de Tune d'entre elles en portant une longueur constante sur chaque génératrice. Ce fait est général pour les trajectoires orthogonales des génératrices d'une surface réglée; car, si Ton considère le quadrilatère gauche formé par deux quelconques de ces trajectoires et deux génératrices infiniment voisines, les longueurs finies de ces génératrices ne peuvent dififérer que d'un infiniment petit du second ordre, comme étant les projections d'une même diagonale sur chacune d'elles. Donc les longueurs interceptées sur deux génératrices à distances finies ne peuvent différer que d'un infiniment petit du premier ordre et sont par suite égales ; la même propriété se conserve d'ailleurs en projection sur le plan du cercle do gorge.
Les équations de la projection de celles de ces courbes pour laquelle G= o sont
I X = r(cosO — sinô sin'^Y)' / y = /(sinô — OcosÔsin^Y);
un point quelconque xy de cette courbe s'obtient en portant sur la tangente au cercle de gorge, à partir de son point de contact, une longueur r9 sin-y, proportionnelle à Tare r9 correspondant. On peut encore considérer cette courbe comme étant la projection des divers points delà développante du cercle de rayon rsin^y, sur les tangentes au cercle de gorge, les points correspondants des deux courbes étant situés sur des tangentes parallèles. Toutes les autres courbes se déduisent de celle-là, soit en portant une longueur constante sur les tangentes au cercle de
LIGNES ET SURFACES ORTHOGONALES. 6r
gorge, soit en faisant tourner celte courbe autour du point O.
47. Trouver Inéquation générale des surfaces qui coupent à angle droit les sphères représentées par l'équation
oh a est un paramètre variable.
Déduire du résultat obtenu quelques systèmes formés de trois familles de surfaces triplement orthogonales.
(Paris, novembre 1869.)
Soient F = o l'équation générale de la famille de sphères , ^^f{x^y) celle d'une surface les coupant à angle droll; on doit avoir
dF d£ ^ iC d^ dx dx dy dy dz
ou
/ V dz dz
qui, par l'élimination du paramètre variable a, devient
i.^\ dz dz . . ^
{^) 2xz~i r-'iyz—, -x--^y- — ^2—0.
dx -^ dy
On intègre cette équation linéaire aux dérivées partielles au premier ordre, en posant
{'K\ ^ ^^ - ^^ x dx -r- j dy -^ zdz
ixz "~ %yz ~~ z^—x^—y^ "~ z{x--^y^-i-z^) '
d'où
dx i(x dx -\-y dy -^ z dz) 1c ~~ 3-2 -f- j2 | -2
dy ^.(x dx -h y dy -\- z dz)
02 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE lY.
et, en intégrant,
L'équation générale des surfaces coupant à angle droit les sphères données est donc, en désignant par ^ une fonction arbitraire,
Soient maintenant deux familles de surfaces
(6) cp(G,C') = o, ^(C,C')^o,
pour qu'elles forment avec les sphères données un système triplement orthogonal, il faut et il suffit que Ton ait identiquement
(fçp d^ r/cp d'h d'^ d^ dx dx dy dy dz dz ~ OU bien
[ dC dx "^ dC' dx )\dC dx "^ dC' d^J "
et, en développant,
dC dC l\dx) ~^\ dy) "^ [dz ) J
/^ d^ , d<^d^\(dCdv^ dcdc dc dcr
Ug dOI "^ dO: dc) [dx dx '^ dy dy ^ dz dz^" ^' Or on a
/^\2 [dCy /dCY [dx] '^[dy) ^[dz]
-[dx) '^[dyj
/dC'V
d£dC^ dC dC dC dC
dx dx dy dy ^ dz dz '~ ^
Téquation (7) se réduit donc à
^ dC dC ^ dC dC ~ '
qui exprime, si l'on considère G et C comme des coordonnées, que les courbes <p et ^ sont orthogonales.
11 résulte de cette équation que, la fonction cp étant arbitrairement choisie, on peut toujours trouver la fonction '| correspondante; il existe donc une infinité de systèmes orthogonaux dont fait partie la famille des sphères proposées.
Nous appliquerons ce qui précède à trois exemples :
d'où
do do
dG~ ' dC'~ '
l'équation (8) devient
~=0j '\> = yr^{C') = o ou G'=:const.,
ce qui donnera le système triple orthogonal
lormé de sphères passant par l'origine et ayant leurs cen très sur les axes coordonnés.
^où l'équation aux dérivées partielles
G' ^ 1 ^ G"2 rfG "^ G d(y "" ^'
1'(G,G') = x(G2H-G'2) = o, G2-f-G'2=const.= ^;
d'où le syslème triple orthogonal
qui comprend, outre la famille des sphères données, ur série de plans passant par 0.5 et une famille de tores ei gendres par la rotation autour de O^ de cercles tangen à cet axe au point O.
qui représente, si C et G' sont regardés comme des coo données, des ellipses homofocales; on en déduit, pour fonction ^^ les hyperboles homofocales
Nous avons donc le système triplement orthogonal
7«2 -yi
RAYONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. 6j
