CHAPITRE V
48. Donner une méthode pour avoir les courbes dans lesquelles le rayon de courbure r est une fonction donnée de V angle CL que la tangente à la courbe fait avec une direction fixe y
application aux cas où f(oL)=a cos ol, f(oL)= - - -
(Clermont, juillet 1880.)
"renons la droite fixe pour axe des :c; on a les formules
ds r = -7- 5 dx = ds cos a, dy = ds sin a ;
on en déduit
dx =f(oL) cos oLdoL y dy = f{oL) sin OL doL ^^) en intégrant,
X = xo-h ff(oL) cos oLdoLj y =yo-\- ff{^) sïn oidoi.
^n voit que toutes ces courbes s'obtiennent en transportant Tune d'elles parallèlement à elle-même. '** /(a) == acosa,
X = afcos^oidx -h 0^0 = -; (2 a -h sin 2 a),
• / = -/sin2ac/a-hjo = 7 (' — cosaa), 2 4 -
^n faisant ^o = o,jKo— ?•
ViLLié. — Compositions. 5
Soit 2a = — j3, nous aurons
^=7(3 — sin?), j=7(i — cos?):
ce sont les équations d'une cycloïde engendrée par ui cercle de rayon -^ roulant sans glisser sur Taxe des x,
2" /(^) = ~^^ 'y faisant Xç, = o, jKo = o, on a
cos-'a
r dn. , T.
= a \ = alofftanfir -
Tsina , a
y — a \ — dt =
J cos^a cosa
On en déduit
cosa a
On a donc
équation de la chaînette.
<49. Déterminer la courbe G de façon que le rayo de courbure r en un point quelconque M de cette courb et Varc s =^ AM, compté à partir d'un point fixe A vérifient la relation
dans laquelle a désigne une ligne donnée,
(Paris, juillet 1882, 1^ question.)
De réquation
on tire
ds 5* -h a*
aa a
. ads s
doL = —= T) a — ao= arc tang -
ou, en prenant l'axe des x parallèle à la tangente à la courbe au point A,
s = a tanga.
On en déduit
cos^a
et l'on rentre dans le problème précédent. On peut encore procéder comme suit; de l'équation
s dy a ~ dx ^
on lire, en la dérivant,
j/14-/?» dp a dx
d'où
P- dx
^^uaiion de la chaînette. Le problème comporte trois confiâmes arbitraires ao, ^o^J^o? c'est-à-dire que la chaînette peut occuper une position quelconque dans le plan.
50. Trouver une courbe plane telle que, si d^ un point fixe pris dans son plan on mène des rayons vecteurs à
68 PltEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
ses différents points, le lieu de la projection du centre
de courbure sur le rayon vecteur correspondant soit une
courbe symétrique de la proposée par rapport au point
fixe.
On vérifiera que la courbe trouvée satisjait bien à la
condition énoncée,
(Grenoble, novembre 1880.)
Le rayon de courbure
dx-^
le cosinus de Tangle de la normale et du rayon vecteur est donné par la formule
r dy — y dx
sj'dx^dy'^ yjx^-^y^ l'équation différentielle du lieu est donc
(dy\
^ dx) X dv — y dr , — ;
IZ dx\jx^-^y^ dx'^
mais cette équation est trop générale : elle comprend aussi celle des courbes telles que la projection du rayon de courbure sur le prolongement du rayon vecteur soit double de ce rayon vecteur. Pour distinguer les deux cas, il convient de remarquer que^ dans le problème proposé, la courbe doit toujours tourner sa concavité dans le sens de Torigine, ce
qui exige que — et -^ varient dans le même sens ou que les
X (JLX
.'. f jdy d^y 7 . j y x dy — y dx . ^ .
quantités a^ = ;72 "-^ et a— = — - — ^^ aient même
signe; le signe supérieur de l'équation (i) convient donc au problème proposé.
L'équation (i), mise sous la forme
1 , \. dx
/ dy ,' ~~ x'^-r- V*
s intègre une première fois et donne
dx
OU
a arc tan g -j- = arc tan g -- -h Wd
(2) 2a — 0) -f- Wq.
Or l'angle V que fait la tangente à la courbe avec le rayon vecteur est donné par
doii
. dbi . , .
tangV = ? ^- = — tang ^(w — wo), fe qui donne la famille de courbes semblables
Pour opérer la vérification demandée, ap = rsinV, on ^ les formules
sinV =
1 équation à vérifier est alors la suivante :
Uj 2 =±:
/d^.y dip
Les courbes obtenues doivent donc satisfaire à l'une quelconque des deux équations
Dans le cas actuel, c'est l'équation (5) qui est satisfaite.
Le signe inférieur de l'équation (i) correspond à un autre problème précédemment énoncé; la famille de courbes qui satisfait aux conditions de ce second problème est
elle vérifie l'équation (6).
\ 51. Déterminer une courbe C telle que, si Von forme une de ses transformées G| par rayons vecteurs réciproques, relativement à un pôle donné O, les rayons de courbure en deux points correspondants M et M| des deux courbes C et C| aient un rapport constant,
(Paris, juillet 1875.)
On dit que la courbe C| est une transformée par rayons vecteurs réciproques de G, par rapport au pôle O, lorsque le produit OM.OMi des rayons de même direction, issus du point O, est constant.
Donnons d'abord une relation entre le rayon de courbure r, le rayon vecteur p et la distance p de la tangente
à l'origine. On a
ds ds
dfx d(ii-\- d\^ mais
,. dp ' XT 9 d(i> cosV= -f 9 sinV = — -7— :
ds ds
on en déduit, en éliminant ds et diù,
dp
cos V <fw -H cosV d\
9 ^? p do p dp
sin \ dp -h p cos V d\ ~~ d.p sin\ ~ dp
Si l'on désigne par A' le rapport constant des rayons de courbure aux points M(p, w) et M|(R, w), l'équation de condition sera
d.p sinV ~~ t/.RsinV
! en
remarquant que les angles V en ces deux points sont supplémentaires. On a d'ailleurs, par définition, Rp = a-,
d'oiirfR = t^P'f substituant dans l'équation (i), elle
devient
p dp Aa* dp
d.p s'mW ~ , j <^' • a/ ^ 0^ d. — sinV
P On tire de là
d?\n\ ^ p^ — ka^ , dp ip dp
sinV ~" p(p*-i- A:a*) ^~ p p^-\-ka^^
^ti en intégrant et posant ka^ = b^,
^V sinV= :
icp
^D a aussi
dhi = ~ tang V.
lie la première on tire
p = csinV ih y/c' sin* V — 6*
^^ par conséquent,
c sinV y/c^Tin» V — b^,
dp = ccos V ( 1 zfc ^__^2*" - — ~ ] rfV;
éliminant p et rfp, on a la relation entre co et V
, zhcsinV ^,
dont rintégrale est
.«^ OCOSV
(j) w — a)o=arccos
Si l'on élimine V entre les équations (2) et (3), on a
Rapportant cette courbe à des axes rectangulaires, tels que Oj? fasse avec l'axe polaire l'angle arbitraire coo, on a
4(62^^2 -h c2jk2) ^ (a^2|.j2^ ^2)2,
équation qui peut s'écrire
(4) {x'^ -^-y^^iy v/c2 — 62 —b^) ( 5^2 + ^2 ly^Ql... è'2 62)=0.
Ce sont deux circonférences de même rayon c se coupant sur l'axe des x aux points d= h ^=±a\Jk, La famille des courbes C, qui comprend aussi leurs transformées Ci, se compose donc de circonférences telles que, si A est le centre arbitrairement choisi de Tune d'elles, cette courbe coupe la droite 0.r normale à OA, à une distance OB = ay/A^; sa transformée a son centre en un point A|, situé sur la droite AO, de l'autre côté du point A; elle coupe la proposée au point B; enfin le rapport de leurs rayons estA'.
La méthode que nous venons d'employer est assez simple, mais peu naturelle, et le résultat auquel elle conduit ne donne pas immédiatement la solution géométrique du problème. Nous allons traiter la question directement.
L'équation de condition
b'-mï]
devient, par rélimination de R à l'aide de la relation
ai
= - > en posant, comme précédemment, ka^ = b'^,
equalion dans laquelle w ne figure pas; elle devient, si Ton [' prend comme fonction inconnue c = ( ~ ) ?
dz d^
cette dernière est linéaire en z et son intégrale est
ou
±diù =
it (o) — wj) = arc cos = ?
•l^^si l'on pose y/C — ib- = isjc- — ^-, donne la famille ^e cercles
^9) p2 — 2 p v/c2— 62 COS ( 0) — Wo ) — ^2 = o.
o2. On donne le paraboloïde hyperbolique défini en ^^ordonnées rectangulaires par V équation z^=z -^, rfa/î.v
laquelle C désigne une constante. Déterminer les lieu (les centres de courbure des sections principales qc correspondent aux divers points de Vaxe des x.
(École Normale, juillet i883, i""® question.)
Si, suivant les notations habituelles, on pose
dz dz ^ d^z d^z d'^z
'd'x ~^' dy " ^' d±i~ ^' dx dy " *' dy^ ~ ^'
on a, pour le paraboloïde proposé,
les équations de la normale au point Xq de Taxe des . sont donc
Xq
et toutes les normales à la surface aux divers points d Taxe des x sont sur le paraboloïde hyperbolique
L'équation qui donne les rayons de courbure principau
p^(rt — s^) — pv/r+jÔ2"+~5r"2 [(i -^p^)t — 7.pqs H- (i -h q^)r]
-l-(n-jo'-t- q^y devient
d'où l'équation
qui, par l'élimination de j^ avec l'équation (i), devient
Le lieu cherché est donc la courbe intersection du paraboloïde (i) avec le cylindre hyperbolique (2).
33. Etant donne un ellipsoïde à trois axes inégaux représenté en coordonnées rectangulaires par Véqua-
tion
on considère V ellipse E résultant de U intersection de cette sur/ace par le plan des xz. En un point quelconque M de cette ellipse, il existe deux sections normales principales de Vellipsoïde dont chacune a pour ce point son rayon et son centre de courbure. Cela posé, on demande :
1° Les expressions pour chaque point M des rayons de courbure pi, 02 des deux sections principales ; 2° La relation qui existe entre pi et ^2\ 3° Le lieu des positions qu^ occupent les centres de courbure des sections principales, lorsque le point M se
déplace sur V ellipse E.
(Paris, novembre 1877.) •
On a, pour les divers points de Tellipse E(y = o),
I p* rz
pq zs
I <7* tz 6» c* c*
Si, dans Téquation qui donne les rayons de courbure
principaux, on fait d'abord q = o, s = o, on trouve
Ces valeurs auraient pu être écrites immédiatement, l'un des rayons de courbure pi doit être celui deTellipse et l'autre s'en déduit par la relation
P. ?« = — /i - ./ • On a donc
les signes supérieurs conviennent au cas de z positif. On en déduit, pour la relation entre pi et Oo,
pi a'-c-
Le lieu des centres de courbure de la première séri< sections principales est la développée de l'ellipse E
(î) (ax)^ + (c^)'* = (a2— c2)3'.
On trouve le second lieu en éliminant x et z entre trois équations
on obtient ainsi, si l'on remarque que c — Z est de m
Signe que s,
d'où Véquation
rSZî
(\ui est celle d'une ellipse concentrique à l'ellipse E et avant mêmes directions d'axes.
54. On donne les deux surfaces définies en coordonms rectangulaires par les équations
Y z = a arc tang — (liclicoïtlc gauche)
et
y/a^î | JÎ
surface engendrée par la rotation dhine chaînette aulourde V axe Oz.
Soient
M un point de la première surface ; M| un point de la seconde; ^l'angle du plan MOZ avec le plan ZOX; ^'« distance du point M à l'axe OZ ; ^1 l'angle du méridien M| OZ a^^ec le plan ZOX ; ^/WcAMi de ce méridien compris entre le point M| et l'équateur de la surface.
On dit que le point M| de la deuxième surface corf^spond au point M de la première lorsqu'on a 0, = f), ^=/; le point M décrivant une courbe G sur la pre- '^ière surf ace, le point M| décrit une courbe corresponàanie C^ sur la deuxième surface :
i" Démontrer que les arcs correspondants des courbes ^et C| ont même longueur;
2" Démontrer que les produits des rayons de courbure principaux en deux points correspondants sont égaux,
(Paris, novembre 1879.)
Nous calculerons d'abord Tare o-; meltant réquation de la seconde surface sous la forme
on a
d'où
1° Pour démontrer Tégalité des arcs correspondants s ci Si des courbes Gel G|, il suffit de prouver queds = dSi.
Or
ds^' = dli-+-l*d^^-hdz^,
d'où, en remarquant que l'équation de l'hélicoïde gauche esl z = aO,
on a de même, pour la seconde surface,
ds] = d(7^ -\- p^ d(i^ ; donc, à cause de /= o-, on a bien
( '2 ) ds == dsi j s = Si. '
2® Le produit des rayons de courbure principaux en un point d'une surface est donné par la formule
(3) PiP»= rt^s^ '
appliquant à l'hélicoïde ;5 = aarctang- et remarquant
ay
ax
laxy
d'où enfin
que x^ -\- y^=^ /^, on trouve
rt s^ — •
(4) PiP2 = - — -t
La seconde surface, étant de révolution, a pour rayons de courbure principaux la longueur de la normale limitée à l'axe de révolution et le rayon de courbure du méridien ; • ces deux lignes sont égales en grandeur absolue et leur
produit est — ^: c'est-à-dire le même que pour l'héli-
coïde, en vertu de la relation (i).
00. i^ Former l'équation du second degré qui donne les rayons de courbure principaux en un point quelconque du paraboloïde défini en coordonnées rectangulaires, par V équation
2° Exprimer, en fonction de la variable z, chacun des deux rayons principaux, pour tout point de la ligne de rencontre du paraboloïde proposé avec le paraboloïde défini par V équation
(Paris, juillet 1881.)
!*• On
au a
I l'équation qui donne les rayons de courbure principaux
8o PUEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
est
ou
2" Les coordonnées x et ^ de la courbe d'intersection des paraboloïdes sont données en fonction de z par les formules
d'où
or de Téquation (3) on tire
. i/ -^^+"îiL'^V '-- (,^ + a+fc rJ'
f^Và v/-^^^^^^ h (- ïirk.)]
et enfin
Pi
Le rapport — est rationnel et linéaire en.
RATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. 8l
enfin Ton a
(7) i-i = — y = CODSt.
^" pi ab
56. Déterminer les sur/aces de révolution telles que, en chacun de leurs points, les rayons de courbure des sections principales soient dirigés dans le même sens et aient une somme constante ia.
On indiquera la figure du méridien de la surface.
(Paris, juillet 1878.)
Les rayons de courbure principaux sont le rayon de courbure
de la courbe méridienne, et la portion de normale
comprise entre la courbe méridienne et Taxe de révolution Ox. Cette courbe tournant sa concavité vers Taxe Oxy puisque pi et p2 doivent être dirigés dans le même
sens,^ et —-^ sont de signes contraires, si donc nous étudions la portion de méridienne située au-dessus de Ox^ on aura J^ ]> o, -^^ < o ; d'où Féquation différentielle
dx^ que Ton ramène au premier ordre en posant
^/,.(|)-=/rî?=.,
ViLLiFl. — Compositions
l'équation (i) devient alors
OU
z dy — y dz ladz
dont l'intégrale est
(3) 7= -4-Cz= =+Gv/i+i>S
d'où
^Cdy
(4) ±dx =
v/(7±:v/7*-4«G>-4G« En posant, poui: simplifier Técriture,
u=y±\/y^—iaC,
d'où
M« — 4aG
on arrive a
(4 bis) dzdx = — : — — >
qui donne, pour l'équation du lieu,
(5) di(a7-a?o) = Glog(M4- ^2-40^ — ^ ^"'"'^^' «
Cette formule est trop compliquée pour être discutée. Pour trouver la forme du méridien, nous exprimerons ses coordonnées ^et^ en fonction de Tangle a de sa tangente avec O^.
On a
(6) r = acosaH >
^ ^ "^ cosa
d^où
, , / . CsinaN dy = dx taDg a = ( — a sin a H ^ \ aa
et
(;) dx = ( — acosaH )<ia,
\ cosa/
(8) a? = — asina-t- Glogtangf - 4- - j;
raddilion d'une conslanle à x répondrait à un transport de la courbe parallèlement à l'axe de révolution. Il suffit d'ailleurs, dans la discussion, de donner à a des valeurs positives, la courbe étant symétrique par rapport à Taxe des r. Nous distinguerons trois ca« :
I" C= o; on a le cercle de rayon a,
2" G > o. Pour a=o, x = Of y = a-i-C, ce qui exige C^a, sans quoi Tun des rayons de courbure principaux serait supérieur à 2 a. Quand a croît, dx commence par être négatif : il en est donc de même de x ; dx s'annule pour
G cos^a, = - et devient ensuite positif; il y a, au point cor-
respondant de la courbe, uti rebroussement de première espèce; mais la seconde branche, qui va à l'infini, est parasite, attendu qu'elle tourne sa concavité vers lesj^ posi- ^^^^{fig* 4)' Comparons les diverses courbes que l'on obtient en faisant croître G de zéro à a; soient — x^^ y^ les coordonnées du point de rebroussement de la courbe.
7i = 2y/aC croît de zéro à 2a, x^ décroît de a à zéro,
puis a, décroît de - à zéro. Enfin, si Ton cherche les points
de ces courbes pour lesquels les tangentes sont parallèles a une direction donnée a, on trouve que^ est d'autant plus grand et — x plus petit que G est plus grand, ce qui indique une courbure plus prononcée des courbes à mesure qu'elles s'éloignent de l'axe de révolution.
3° C <C o. Mettant en évidence le signe de C, nous écrirons
{6 bis) (7 bis) {S bis)
y = acosa —
dx
cosa
= — (a cos a H ) ûfa,
\ cosa/
a? = — a sin a 4- G log tang ( t + ~ )
Pour a = o, a: = o, y =^ a — G; G doit être compris entre zéro et a. Quand a croît, x est négatif et croît en
Fig. 4.
valeur absolue, y va au contraire eu décroissant et,
comme nos formules supposent jK>^j la valeur maximum
ai de a est donnée par cosa< = -; les valeurs supérieures
de a fournissent une branche parasite. Les pôles de la surface de révolution sont donc des points coniques. Étudions les variations du demi-axe polaire X\ quand C varie de
zéro à a, ou ai de - à zéro :
(9) ^j = a/(ai) = a sinai+cos«ajlogtang^j ~^ ^) r
(10) f'{^) = 2C0sa I — sinalogtang/ 7 "^ ~ ) h
pour ai = o, X\=^o\ quand ai croît, il en est de même de ^1, jusqu'à la valeur a déterminée par l'équation
sinalogtang^^ H- îj =1;
x^ décroît ensuite jusqu'à devenir égal à a pour ai = -
57. Déterminer les lignes de courbure de la surface représentée, en coordonnées rectangulaires, par l'équation
e-= cosa?cos^.
(École Normale, juillet 1875, i"* question.)
La coordonnée z n'est réelle que si cos^ et cosjk sont de même signe, c'est-à-dire que, si x est compris entre (A- zb ^)7c, y doit être compris entre (/:'±: ^)7r, k et k' désignant des nombres entiers de même parité. La surface située tout entière au-dessous du plan des xy se composera donc d'une infinité de parties identiques se projetant sur des carrés égaux de côté tt, disposés comme les cases de même couleur d'un damier, et l'un de ces carrés aj^ant son centre à l'origine.
, , L'équation différentielle des projections des lignes de courbure est, en général,
dx -\- p dz dy -\-q dz ^ dp ^ dq *
or, pour la surface proposée,
p= — tangar, q=-' tangj ;
d'où l'équation
dv dv
dy^ cos^x — dx^cos^y = o ou — "^ =±
•^ *^ cosj^ cosa?
et, en intégrant, les deux familles de courbes
tans(f + {)=C,tang(| + î),
qui passent, les premières par les extrémités des diagonales parallèles à la bissectrice des axes, et les secondes par les autres sommets des carrés.
58. Trouver les lignes de courbure de la surface développahle, enveloppe du plan mobile représenté en coordonnées rectangulaires par V équation
OÙ a est un paramètre variable, ç(a) une fonction arbi-
traire de ce paramètre et R une constante donnée. On
fera voir : i° que les génératrices rectilignes constituent
un premier système de lignes de courbure, comme dans
toutes les surfaces développables ; 2° que les lignes de
courbure du deuxième système sont situées sur des
sphères concentriques à la sphère qui touche le plan
mobile,
(Paris, août 1871.)
La ligne de contact de la surface proposée avec la sphère de rayon R est une ligne de courbure du second système, car cette ligne est normale à une génératrice quelconque, qui est l'intersection de deux plans tangents à la sphère et
infiniment voisins. Toute ligne obtenue en portant une longueur constante sur chaque génératrice, à partir de la ligne de contact, est aussi ligne de courbure; or une telle ligne est évidemment sur une sphère concentrique à la première. Reprenons la question analytiquement. La surface dé veloppab le est représentée par les deux équations
0= ar-hjtp (a)-l-R- — - -
Differentiantla première et tenant compte de la seconde,
on a
(2) dz =.%dx -{- ^{ol) dy,
d'où
L'équation des lignes de courbure devient
{dx -{- oidz)^'(oi) d(x= [dy-\- ^(%)dz] doi,
d'où la solution rfa = o ou a = const., qui donne les génératrices rectilignes de la surface comme lignes de courbure du premier système. Les génératrices du deuxième système satisfont à l'équation
/qv dx -^ OL dz dy -h o ( oi) dz
Si l'on multiplie les deux termes du premier rapport pari?, ceux du deuxième parj^? et que l'on ajoute terme à terme, puis que l'on répète cette opération en employant comme facteurs a et ç(a), on a
(3j^x xdx-hydy-hdz[%x-{-y^(:L)] ^ [i 4- a^-f- cp^(«)] c?^ .
X'\-y(D'{oL) a-+- cp(a)cp'(a) '
or ce dernier rapport, en vertu de la seconde des équa-
lions (i), est égal à
(l'oii Ton déduit
X dx -{-y dy -h dz[oLX -i-y^(cc)] =— R/i-t- a^-t- <p«(a)t/z,
ou, en tenant compte de la première des équations de la surface,
(4) X dx -^y dy-^ z dz = Oj
{^bis) x%-^y^-^z^= G«.
Réciproquement, si les lignes de courbure du second système de la surface développable
\ z=: aa7-4-7cp(a) -+-iKa), {\bis) \
( 0= a7-f-7cp'(a)-i-il;'(a),
sont situées sur des sphères ayant Porigine pour centre, d'(a) aura la forme indiquée. En effet, les équations (2), (3) et (3 bis) subsistent et cette dernière, en tenant compte de (4) et de (i bis), devient
^'{ci) ~ a-+- cp(a)cp'(a;' OU, en intégrant et désignant la constante par R,
Dans le cas de R nulle, les surfaces en question sont des surfaces coniques quelconques ayant Torigine pour sommet commun.
59. ^,^, z étant les coordonnées rectilignes, a, 6, a, |3 des fonctions d'un paramètre variable, on demande les conditions pour que la droite xz=zaz-\-cL^y=^bz-\-^^ engendre une surface développable dont les lignes de
courbure normales aux génératrices soient situées sur , des sphères concentriques,
(Paris, juillet 1872, 1^ question.)
En exprimant d'abord que deux génératrices infiniment voisines se rencontrent, on a la condition
da di
qui exprime que la surface est développable.
Si l'on difTérentie totalement les équations de la droite et que Ton élimine ensuite r, on arrive à l'équation
(2) dz{b da - a db) = da dy — db dx,
d'où
— db da
h da — adb^ " ~~ b da — adb^
, bidbd^a — d ad^b) __ — a{ db d'^a — d ad^b)
^ ~ {bda -adby ' ^ ~ {b da a dby~'
Si l'on substitue dans Téquation difierentielle des lignes de courbure, on remarque qu'elle est satisfaite quand le paramètre variable reste constant, ce qui donne les génératrices rectilignes pour le premier système de lignes de courbure.
Le second système satisfait à Téquation
dadz \ / . db dz
/ , dadz \ / ,
\^y^bda—a~db)=''\-'^''
b da - a db ou
(3) a dx -^ b dy -h dz = o,
H'^el'on aurait pu écrire immédiatement, puisqu'elle expnme que ces lignes sont les trajectoires orthogonales des génératrices. La condition pour que ces lignes soient sur
go PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
des sphères ayant Torigine pour centre est
X dx -\-y dy -h z dz = o OU
{az -\-0L)dx-h {bz -\- ^) dy -{- z dz =z o \ cette équation devient, en tenant compte de (3),
(4) ndx -^^ dy ^= o.
Éliminant enfin dx^ dy et dz entre les équations (2), (3) et (4), on arrive à la seconde condition
(5) da\i.{\^h'^) — ah^\'^dh\^{\-^a^)-ah'x\=^o,
60. On considère la surface enveloppe de la sphère représentée par V équation contenant deux paramètres arbitraires a et b
(1) {x — aY'\-{y — bf-\-[z — V{b)]^=^^{a),
F et (f étant deux fonctions données quelconques. Trouver les lignes de courbure de cette surface. On montrera que les lignes de courbure sont des
lignes planes et que les plans de Vun des systèmes sont
parallèles au plan desyz,
(Toulouse, novembre 1880.)
La Géométrie mène assez simplement à la solution de cette question ; il est d'abord facile de voir comment est engendrée la surface enveloppe. Le lieu des centres des sphères est le c}lindre
Or, si l'on considère une génératrice quelconque du cylindre et les sphères ayant leurs centres sur cette génératrice, le rayon de chacune d'elles étant fonction seulement delà coordonnée ^ =:r a du centre, il suffira de déplacer cette génératrice sur le cylindre, de façon que sa trace sur le plan des^^^ parcoure la courbe (2), pour que toutes les
sphères entraînées avec la généralrîce touchent la surface ; celle-ci est donc le lieu de la courbe enveloppe des sections des sphères par un plan normal au cylindre le long d'une génératrice rectiligne. L'une quelconque de ces génératrices planes de la surface est alors ligne de courbure, puisque les normales à la surface, qui sont celles de la sphère aux points où elles la touchent, sont dans ce plan normal. D'un autre côté, les sections de la surface par des plans parallèles au plan desyz sont évidemment les trajecloires orthogonales des génératrices planes de la surface; elles constituent donc la seconde série de lignes de courbure. On peut d'ailleurs voir directement que ces courbes, qui sont parallèles à la section correspondante du cylindre, sont telles que les normales à la surface enveloppe en deux points infiniment voisins de l'une d'elles se rencontrent. En effet, les projections de ces normales sur le plan sécant, limitées à leur point de rencontre, diffèrent (l'un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, puisqu'elles sont normales à la courbe (2); ces normales coupent la parallèle à Taxe des x menée par le point de rencontre de leurs projections, en deux points distants également d'un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, puisqu'elles font le même angle avec le plan sécant; elles se rencontrent donc.
Pour étudier la question analytiquement, nous remarquerons que la forme ordinaire de l'équation différentielle des lignes de courbure serait ici d'un emploi peu commode, puisqu'elle suppose que le z de la surface est explicitement donné en fonction de ^ et j; nous nous servirons d'une autre équation de forme très simple, due à 0. Rodrigues. Voici comment on l'établit.
Soient
^,7, z les coordonnées d'un point M de la surface;
X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale à la surface
en ce point; X -h dx^ y -I- dyy z -{- dz les coordonnées d'un point M|
inQniment voisin appartenant à une ligne de courbure
passant par M; G le point de rencontre des normales en ces points.
Le triangle CMM| est isoscèle en négligeant les infiniment petits d'oi'dre supérieur au premier. Si donc on projette ce triangle sur Ox^ on a, en appelant R la distance CM,
da; = RrfX;
d'où les équations
^^^ dX" dX~ dZ"^'
R étant le rayon de courbure de la section principale correspondante.
Cela posé, pour déterminer la surface considérée, il faut à l'équation (i) joindre les deux suivantes :
( ar-a-f-cpcp'=o, ^^ ( 7 — è-f-(^-F)F'=o,
qui permettent d'exprimer en fonction des deux paramètres a et 6 les coordonnées d'un point quelconque de la surface enveloppe,
x=^a — cpcp', .
(5) j-=F±<Pi/T^fi=''-^'"'
en posant, pour simplifier, u=^-±: i/ -— — ^ •
Comme, d'ailleurs, la normale à la surface au point
RATONS DE COURBURE ET UGNES DE COURBURE. gS
x,y, z est aussi normale à la sphère de rayon cp et dont le centre a pour coordonnées a, 6 et F (6), on a
appliquant les équations (3) des lignes de courbure, il vient
,. D (1 — ?'*—? /) fl^^- dh — d{^?'u^ F'db- h d{^u) ^7^ - — cp^rfa "" — rf(F'a) "" du *
La dernière peut s'écrire F'acp'rfa — rfè
u^'da-^ F'dh
ou
(i +- F'2) db du + u¥''db{u^' da -4- F' db) = o,
d'où la solution db=^o, 6 = const., qui donne comme première série de lignes de courbure les lignes planes
donlle plan est normal au cylindre (2).
Pour trouver la seconde série de lignes de courbure, il faut, dans réquation(8), après avoir supprimé la solution rf6=o, substituer rfw,
du = —
(^^Y'^)^'fda-^( i — ( f'^)F'F''d b
*M(l-hF'2~)2~'
ce qui nous donne, après simplification^
d'où la seconde série de lignes de courbure da ^' = const., dont le plan
X = a — cpcp' t-'sl parallèle au plan des yz.
gi PREMIÈRE PARTIE. — CHAP. V. — RAYONS DE COURBURE, ETC
Les rayons de courbure principaux de la surface sonU
^ du '^fVi — ?'*
LIGNES ASTXPTOTIQIBS ET LIGNES GÊODÉSIQUES. Ç)0
