CHAPITRE VI

UGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES GÊODÉSIQUES.

61. Recherche des lignes asympto tiques et des lignes de courbure de la surface

z = mxy.

Angles sous lesquels les premières lignes sont coupées par les secondes.

Courbes suivant lesquelles ces deux sortes de lignes ^^ projettent sur le plan des xy,

(Marseille, novembre 1880.)

L'équation différentielle de la projection des lignes asjmpioliques sur le plan des xy est

dp dx -\- dq dy =^ Q\

elle devient, pour le paraboloïde proposé,

2 m dx dy = o;

"OÙ les deux familles de lignes

,x l x = C,, z = mCij;

( y = G2, z = mCiX.

Ce sont, comme il était aisé de le prévoir, les deux sénés de génératrices rectilignes de la surface.

En appliquant Téquation différentielle des lignes de courbure, on arrive à

dy , dx

y -\- >J v-\- ni^y^ = C{dz x -h ^i-h m^x^),

C étant une constante arbitraire, ces courbes apparliennent toutes à la famille d'hyperboles

(^) x^^y^-^ — G— ^^ = (-ÎG^j •

Les lignes de courbure étant tangentes aux sections principales sont les bissectrices des lignes asymptotiques, puisque ces dernières sont tangentes aux asymptotes de l'hyperbole indicatrice ; si donc a est l'angle sous lequel se coupent ces deux séries de lignes, 2 a sera l'angle que forment les lignes asymptotiques. Pour déterminer cet angle, il suffira de remarquer que les cosinus directeurs des deux génératrices rectilignes qui passent au point a;, y y z de la surface sont respectivement

zr )/ \-r- m>y^

cos 2 a — - , —

mP-xy

d'où