COS
ViLLiÉ. — Compositions. 7
dont les lignes asymplo tiques ont pour équation différentielle
dy __j dx ^ cosj^ cosar'
elles se confondent donc avec les lignes de courbure de la
surface
e^^ = cosa? cosj^ (n" 57).
^ 63. On considère la surface représentée en coordonnées rectangulaires par V équation
a étant une constante. Trouver ses lignes asymptoti-
ques,
(Toulouse, juillet 1880, i"* question.)
L'équation différentielle des lignes asymptotiques peut
s'écrire
r dx^ -4-25 dx dy -r- 1 dy^ = o ;
or, pour le conoïde proposé,
d'où l'équation
dy __ nxyzhxy
dx ~~ x^
ce qui donne les deux séries de lignes asymptotiques
7 = Cl a?, y = C2X^,
Les premières sont les génératrices reclilignes de la surface; pour toute surface réglée, les génératrices rectilignes constituent en effet une série de lignes asymptotiques.
64. Une sur/ace est engendrée par la rotation d'une parabole autour de la tangente à son sommet. Dé ter-
miner la projection sur un plan perpendiculaire à Vaxe de révolution d'une ligne tracée sur la surface, et telle que le rayon de courbure de la section normale qui correspond à Vune quelconque de ses tangentes soit infini,
(Paris, août 1874.)
Recherchons plus généralement les lignes asymptotiques d'une surface de révolution autour de O5,
on a
pp = a;f(p), pq=yf(ph
d'où, en différentiant,
pdp -\-pdp =f(p)dx^xf\p)dp, pdq^qdp =f\p)dy -^yf\p) dp.
Multiplions ces équations respectivement par dx et dy et ajoutons-les, on a, en tenant compte de l'équation différentielle des lignes asympto tiques,
dp{pdx-^qdy)==f\p){dx^'^dy^)'^-f\p)dp{xdx-^ydy),
qui, en remarquant que
p dx -\- q dy — dz = f\p) dp^ devient
np){dp^- dx^-dy^)-f\p)pdp^=o ou
L'équation différentielle des lignes asymptotiques, en coordonnées polaires, est donc
/ Tir
Appliquant cette formule à la surface proposée (2) z = >/imp,
on a la famille de courbes
±(0) — a)o)= -7= logp;
elles s'obtiennent toutes par rotation autour de rorigine des spirales logarithmiques
(3) p = e=twv'2.
ces courbes sont indépendantes du paramètre de la parabole.
65. Déterminer les lignes asymptotiques du tore engendré par un cercle tournant autour d'une de ses
tangentes,
(Paris, novembre 1882, a® question.)
Prenons plus généralement le tore
on a
d'où
(ù est donné, en général, par une intégrale elliptique de première espèce. Pour le cas particulier donné, a = r, et l'on a, en faisant la constante nulle,
J 9\/i9 — ^)ip-
expression qui s'intègre immédiatement en posant m = ^,
=tw =
/^ du I / * du
J t/(»-0(-;) ^ ^ j /-êFï'
dzo) v/2 = log{i ru — 3-4-2/4^^^2 — 6ru-hi)f
LIGNES ASTMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÊSIQUES« 101
d'où
Ces deux spirales, asymptotiques à l'origine et tangentes au cercle de rayon r, se confondent; les deux séries de lignes asymptotiques ont donc même projection sur le plan équatorial. Le maximum de p est r : c'est qu'en effet la surface n'est à courbures opposées qu'entre les parallèles p = o etp= r.
