On considère le conoïde défini par V équation

i* Former V équation différentielle des lignes asymptotiques du conoïde;

2° Intégrer cette équation;

3° Chercher quelle doit être la fonction ^ pour que lo> projection de Vune des lignes asymptotiques^ sur le plan des xy^ soit le cercle représenté par V équation

X^ f- J^2 — cty^

Quelles seront, dans ee dernier cas, les projections des autres lignes asymptotiques,

(Paris, novembre i88o.) L'équation de la surface donne

L'équation différentielle des lignes asymptotiques est

doDC

H 1 ^"l ) (y* ^^' — ^xy dx cfy -{- x^ dy^ ) = o,

ou bien

2 X dx^' \^){.y dx — 00 dy) -4- ^^ ( — ) ( J' dx — xdyY = o.

Supprimant la solution (2) y dx — X dy = o ou — = const.,

qui donne les génératrices, nous aurons

2x^'l— J û^iT -h cp" ( — j{ydx — xdy) = o

dx 2 — =

l'équation du second système de lignes asymptotiques donc

(3) ^^=ccp'(j).

Pour identifier cette équation avec celle du cercle

(4) x^^y^=ay, il faut prendre pour variables

d'où

LIGNES ASTMPTOTIQUES ET LIGNES GÊODÉSIQUES. Io3

l'équation du cercle devient alors

d'où, en identifiant^

qui, intégrée, nous donne

Les autres lignes asymptotiques du même système que le cercle donné sont les cercles

équation dans laquelle R est une constante arbitraire.

La famille de conoïdes satisfaisant aux conditions de l'énoncé a pour équation générale, en coordonnées cylindriques,

(5) z = C(20> — sinao));

l'ordonnée z est la différence de celles de deux conoïdes dont l'un est Thélicoïde gauche.

67. Soient Ox, Oy et Oz trois axes de coordonnées rectangulaires et dans le plan zOx une courbe donnée Q, Une surface est engendrée par une circonférence de cercle dont le plan est parallèle au plan xOv, dont le centre est sur la courbe G et qui rencontre constamment Oz,

On demande de former V équation différentielle des lignes asymptotiques de la surface en prenant pour "Variables la coordonnée z d^un point quelconque M et l'angle 8 du rayon du cercle qui passe en ce point avec la trace du plan du cercle sur le plan zOx,

I04 PREXIÈHE PARTIE. — CHAPITRE YI.

Appliquer au cas où la courbe C est une^ parabole

ayant le point O pour sommet et la droite Ox pour

axe.

(Paris, juillet 1880, a* question.)

Soit X=/(-3) réqiiation de la courbe donnée, l'équation du cercle générateur sera

et celle de la surface On en déduit

multipliant les différentielles totales de ces équations respectivement par dx et dy et les ajoutant, on a, en tenant compte de Téquation dp dx + dq dy = o,

/''{z)dz{pdx-^qdy)

xy dy — y'^ dx , x dy — y dx

Si l'on transforme cette équation en coordonnées cylindriques, elle devient

f(z) dz^ = -^ = 2X COSO) — ,— = 2/(^) -^-- — I ,

'' ^ ' p3cos'*a) cos3ta -^ ^ ^\cos}(i/

que Ton peut écrire

dont rîntégrale est

io5

Celte formule cesserait d'être applicable, au moins sans changement de constante, si la fonction

cos^O

devenait

discontinue : elle suppose donc que Ton fait varier de — i:à -\-Tz, On voit de plus que l'une des séries de lignes asymptotiques se déduit de l'autre par le changement de en — 9, c'est-à-dire que les lignes de l'un des systèmes sont symétriques de celles de l'autre par rapport au plan zOx, Appliquant au cas où la courbe G est la parabole

on trouve

z^= amX,

^ = Ctang(îi^)

équation indépendante du paramètre de la parabole. Ces courbes passent à l'origine pour 9 = o et sont asymptotiques à la droite O^ qui fait partie de la surface, pour

68. Trouver Véquation, en coordonnées polaires, des projections sur le plan xOy des lignes asymptotiques de la surface réglée, définie au n^ 9.

(École Normale, juillet 1882, a* question.)

L'équation de la surface en coordonnées cylindriques

étant

nous avons obtenu

XasinO cos6 P- :: =î-'

d'où

Xacos6 sin6

dp = — ^^j — -\ j-(sinOap — pcosOaO),

dq — r - ( p sin rfO H- cos ^d^)\

d'ailleurs,

dx = cosO dp — p sinô db, c?^ = sin 6 û?p -h p cos 6 û?ô;

l'équation différentielle des lignes asymptotiques est doDC dp dx -\- dq dy = — Ç ^^^ ^? ^^^ — ^'

La première solution, ûW = o, 9 = const., nous donne les génératrices rectilignes, et la seconde,

des spirales hyperboliques.

69. Une surface de réK>olution autour de Vaxe des z est définie en coordonnées rectangulaires par Inéquation z = /(p), dans laquelle p désigne la distance d'un point de la surface à l'axe :

1° Trouver V équation différentielle en coordonnées polaires, le pôle étant V origine des coordonnées rectangulaires^ des projections sur le plan des xy, des courbes tracées sur la surface qui jouissent de la propriété que le plan osculateur en chaque point de Vune d'elles comprenne la normale à la surface en ce m.ême point;

2° Intégrer V équation différentielle obtenue.

(Paris, novembre 1878.)

La normale à la surface, qui fait avec les axes des angles

lont les cosinus sont proportionnels à /?, ^r et — i , doit

âncider avec la normale à la courbe dont les cosinus di-

lecteurs sont proportionnels à d--r^ d-j-t d-^; on devra ^donc avoir

ds ds ^ ,dz

p q ~^ ds^

équations dont la dernière est une conséquence de la première. Or

y//p2 j y2 y^^î |- yZ

l'équation différentielle des courbes proposées est donc

, dy - dx

as as

ou, en intégrant,

dv dx ^

équation que l'on peut écrire

(2) xdy — y dx = çi^diù = Cds\

ds^ = dp^ -4- p* û?w«H- dz^ :

['équation différentielle des projections des lignes géodésijues de la surface sur le plan des xy est donc

p* d(i) = Gv/p2c^a)2-+-(ip2[i+-/'2(p)j^ J p \/p'^ — G*

3 ) o) — (oo = G

L'équation (2) montre que l'aire de la courbe projetée >ur le plan des xy est proportionnelle à l'arc s de la courbe gauche dans l'espace.

70. Étant donné un cône de révolution^ on considère sur sa surface une courbe telle que le plan osculatewr à la courbe en l'un quelconque de ses points contienne' la normale à la surface en ce même point. Déterminer la projection de cette courbe sur un plan perpendiculaire à Vaxe du cône,

(École Normale, juillet 1869.)

Si l'on appelle aTangle des génératrices avec l'axe, l'équation du cône est

z^ — P— • tanga*

appliquant la formule du numéro précédent, on a

Q r dp I G

o) — (Do = -. — / — : = — — arc cos — ,

smaj py/p2__G* sina p

cos[(a) — a)o)sinaJ

Toutes ces courbes sont semblables et asymptoliques aux génératrices du cône pour

-2Sina

Pour trouver les transformées (R, Q) de ces courbes dans

le développement du cône, nous remarquerons que l'on a

la relation

po) = Rli

0) sina = 12;

les transformées sont donc les droites quelconques

ainsi que cela doit être pour toute surface développable. 71. On donne un hélicoïde gauche dont V équation.

en coordonnées rectangulaires, est

z = Xrarc lang - •

On demande de déterminer les projections sur le plan

des xy des courbes tracées sur cette surface, de façon

que le plan osculateur, en un point quelconque de Vune

d^elles, comprenne la normale à la surface en ce même

point.

(École Normale, juillet 1876.)

L'équation différentielle de ces lignes est

i dx d^y — dy d^x

\ =^p{dy d^z — dz d^y) h- q{dzd^x — dx d'^z)\

d'ailleurs, pour l'hélicoïde gauche, on a

iF=pcosa), j^ = psin(o, z = kbi,

Xrsino) Arcoso) p= ? q= ;

si l'on substitue, dans l'équation (i), en prenant w comme variable indépendante, on arrive à l'équation différentielle du second ordre

Elle s'abaisse au premier ordre en posant

d'oii l'équation linéaire du premier ordre

i o^-^k^ du , . ,„^

2 p ap ^"^

dont l'intégrale est

IIO PREMIÈRE PARTIE. — GBAPITRE YI.

et, en revenant à l'équation (3),

Cdp

v/(pS-+-X:2)(p2H-A:2— G«)

On est donc conduit à une intégrale elliptique. On arrive à cette solution en employant l'équation (i) du n° 69; on a

ky kx

dx .dy

dz ds ds

ds ky kx

- dx . dy

•^ ds ^^ ^ ^l ^^ ^y\

- k ~ k'^V'di ~^^/

et, en intégrant,

dx ^y ^ h.^^ n

'^ ds ds ~ ds '

équation que l'on peut écrire

— çi'^ diù = k^ diù — G ds ou

(Â:2-+-p2)t/a)= Cds = 0/(^:2 -i- p2) t/a)2H- dp^,

qui conduit à l'équation (4).

La forme de la courbe dépend de la grandeur de la constante C :

I** C <C A*. Le radical de la formule (4) est toujours réel; p peut prendre toutes les valeurs possibles. Nous prendrons (Oo= o pour p = o; la courbe passe à l'origine, où elle est tangente à O^. Pour p = oo , oj est fini, car l'in-

— - - — est finie. Pour recher-

v/(p2H-/:2)(p2 HA^2 G2)

1er s'il y a une asymptote, il faut calculer la sous-tan-

ente

2 doi C

^ dp ~ ^ /-/ /^I\-7 xTZTgV"'

pour p = 00 ; elle est égale à C. U y a donc une asymptote distante de l'origine de la quantité C.

2° C > Âr. Le rayon vecteur p varie de y/G^ — k'^ à oo ; il y a encore une asymptote.

3« C = A-. On a

r kdp , X: 4- v/p* -H A-2 0) — (1)0= / — , — — log —

d'oi

QÎÙQ-ÎÙ gti)-ù)o

La courbe admet Torigine comme point asymptotique

et la droite p = -::— ; l pour asymptote.

* sin(w — Wo) ^ J r