Un parabololde elliptique a pour équation

trouver Vexpression du volume limité par un plan

parallèle au plan des yz et le centre de gravité de ce

volume.

(Lille, novembre 1869.)

Soit x^a réquation de ce plan; une section parallèle au plan des yz est une ellipse ayant pour axes >Jipx

et \Jiqx : sa surface est donc B=7ty//?y2X. On a, par suite, pour le volume cherché,

V= / B dx = Tza^ ^pq.

Le centre de gravité est sur l'axe des Xy à une distance X de l'origine donnée par la formule

XV = r xBdx=^^Tza^s/çp^

Jo

d'où

6. Calculer le volume situé au-dessus du plan des xy et compris entre les deux sur/aces

z vP' y' a?' v'

c ~ ' a» 6» ^^ aî ^ 6» ~ '^ '

on suppose m^<Ci. Que représenterait Vexpression

trouvée si /n2>> i?

(Lille, juillet 1864).

Les sections du paraboloïde et du cylindre par le plan des xy sont des ellipses semblables et la seconde est intérieure à la première si w^ < i ; les surfaces se coupent audessus du plan des xy.

Le volume cherché V est donné par la formule

am /%a^

am

= ^ / ix^dx v' a* m^ — x»

7ra6cm'(3 — m'^) izabcm^ , ./ m^\

= ^3 g— =,taécm«(^.- — j.

Si /n^ =: I , on trouve V = ^ 'Kabc ; c'est le volume de la portion du paraboloïde située au-dessus du plan des xy.

Si /n^;^>i, les surfaces se coupent au-dessous du plan des xy, et l'expression générale de V représente la difierence entre le volume du paraboloïde limité au plan des xy et le volume compris entre les deux surfaces.

7. Les axes d^une ellipse sont ia et ib {a'^ b), cette ellipse sert de directrice à un cylindre droit; calculer la portion du volume de ce cylindre comprise dans une sphère ayant le centre de Vellipse pour centre et son demi' grand axe a pour rayon,

(Paris, juillet 1876, i"* question.) On a pour ce volume

= s I dx I dys/a'^ — x^ — j2

= î / dx\ (a2 — 372) arc sin —~-j=^ -+- Y V «^ — x'^ — y'^x

abc 4- a^ arc sin -