On demande de démontrer qu'en posant

puis successivement 7i= / xydx, 72=/ xy^dx, .,.,, yn= 1 xyn-\dx,

(^expression de y,i sera donnée par la formule

(École Normale, juillet 1878, 2* question.)

La formule sera démontrée si l'on prouve que de (i) on

peut déduire

dyn

or, si l'on dérive l'expression (i) dej^" par rapport au paramètre X qui figure sous le signe fy on a, en tenant compte de ce que l'une des limites est fonction de ce paramètre,

dyn dx

ViLLiÉ. — Compositions,

-z^Y-^f{z)dz\

ii4 d'où

74. Transformer V intégrale double ffdxdy, qici se rapporte aux aires planes, en substituant aux coor— données rectangulaires x^ y les paramètres des deiux: familles de coniques homofocales représentées par les équations

Application à Vaire du cercle de rayon r,

(École Normale, juillet 1878, 1" question.)

L'expression à former est

""-//(If-*!)*"-

si l'on dérive successivement par rapport à [x et à v les deux équations

62^2= fJL2v2, ^,2j2=(jjt2 ô2)(^2__v2),

déduites des équations (i), on arrive à

j„..//Mg^.,.

c'est la formule demandée.

Dans le cas du cercle [x = r, b = o. Les hyperboles se réduisent des groupes de droites passant à l'origine et, comme il faut faire v=o, on doit, à la place de l'axe transverse v, introduire le rapport des axes d'une même

Il5

hyperbole

d'où

— lang2(o;

y = b coso),

= — dtî);

faisant alors 6 = o, v = o, il vient

V = ± f rrdrdio= ^ r^/o).

7o. On propose de trouver une courbe telle que, si en. unpointM. quelconque de Vune d^ elles on mène la normale MNy prolongée jusqu'à l'axe Ox, la tangente MT

lug. 0.

'^^ ta perpendiculaire MR au rayon vecteur OM prolongées jusqu'à Oy, la quatrième proportionnelle à OT, ONe^ OR soit une ligne constante et donnée k.

(Lille, juillet 1872.)

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.

On doit avoir {^fig^ 5)