Trouver une courbe plane telle que la projection

desanormale MN, limitée à V axe polaire , sur le rayon

vecteur, soit constante,

(Toulouse, novembre 1878.)

On a

MNcosOMN = a;

HtTVT PSinO) /-vmcXT ir "^

^ïN=-v-7 r.Miv.v > OMN = V ,

sin(a) 4- OMIN) 2

d'oùréquation

p sino) sinV — cos(a) 4- V)

que l'on peut écrire

a -h (p — a) tangd) tang V = o, a dp

tangoj <ia) = o,

120 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Vil.

dont rintégrale est

' = G cos w

^ I — Gcosto

ce sont des courbes de second degré de même paramètre a.

•80. Déterminer une courbe telle que, menant par un

point quelconque la tangente MT et la normale MN,

les diagonales du quadrilatère formé par ces deux

droites et les deux axes Ox et Oy fassent un angle

donné 0.

(Besançon, juillet 1880.)

Le coefficient angulaire de la droite TN est

^ ^ dy pdp dp ,

dx — p* du) p du) '

d'où l'équation

tango)

dp i — tangw

^ ^ — tang6 = k

p du)

dp ^ (± k — tangw) du) p idbArtangw

et, en intégrant,

p = G ( cos o> ziz k sin u) )

OU, en coordonnées rectangulaires,

équation qui représente deux familles de cercles passant à

l'orig^ine et dont les centres sont sur les droites

k = r: langO.

. 81. Trouver une courbe telle que V angle MOT sous lequel on voit d^un point donné O la portion MT de tangente à cette courbe, comprise entre le point de contact et une droite fixe DD', soit constant,

(Rennes, juillet 1880.)

Si l'on prend le point O pour origine et Ov parallèle à DD', les coordonnées du point T seront

l'équation différentielle du lieu est donc

elle peut s'écrire

(a — x){x dy — y dx) = zh k[{a — x){x dx -^y dy) -+- {x'^-^y^)dx\

X dy — y dx x dx -^y dy dx

qui s'intègre immédiatement et donne les courbes

=it=

tii

•7- H- logC H- logp — log(a — p costo)

cosa)-4"Ce ^"

122 PREMIÈR1! PARTIE. — CHAPITRE Yll.

Cette courbe a une infinité de branches asymplotiques aux directions données par la formule

(3) costo H- Ce^ = o,

et qui vont en se rapprochant de plus en plus de Taxe Oy\ elle comprend en outre deux spirales symétriques par rapport à l'origine, asymptotiques au pôle et à la direction donnée par la plus grande racine de l'équation (3). Si l'angle donné est droit, on a les courbes du second degré rapportées à leur foyer et à leur axe focal

COSO)

82. Trouver une courbe telle que le triangle ayant pour sommet un point quelconque M de la courbe, le centre de courbure correspondant et le pied de l'ordonnée du pointM. ait une surface constante. On fera voir que Vune des coordonnées s'exprime en fonction de l'autre par une quadrature et que l'on peut se faire une idée de la forme de la courbe, sans en avoir l'équation en termes finis,

(École Normaîe, juillet 1877.)

Soient A"- la surface donnée, a l'abscisse du centre de courbure du point M du lieu ; on devra avoir

en négligeant le double signe qui répond à des courbes symétriques de ot^lle-là par rapport à une parallèle quelconque à Oy, Or

dyy dx) .

dx d'^y dx'^

d'où réquatlon différentielle, dans laquelle x manque.

riwmv^'-'

dxi

posant^ =jo, elle devient

= tanga = tang^i-— ^,

Ces courbes sont symétriques par rapport à O^*; pour les construire, nous nous servirons des équations

7 = 2AVa — «0, dy =

kdoL

yn —

kd%

tanga/a — ao

Prenons, par exemple, la constante ao positive et inférieure à - : la variable a ne peut recevoir de valeur inférieure à ao *, pour a = ao, r = o, nous ferons également ^=o; la courbe présente à Torigine, qui est centre, un point d'inflexion. Quand a croît, y va constamment en

croissant (//^. 7); x commence par croître jusqu'à a = -»

pour décroître de - à ii et croître ensuite jusqu'à — : la

courbe présente donc au point a =: tc un rebroussement rfe première espèce. La branche de courbe que nous étudiions a des rebroussements pour a = /itt: et des tangentes

parallèles à Oy pour a = (2/i + i)-; chaque partie de la

courbe comprise entre deux tangentes parallèles à 0:c va d'ailleurs en se rétrécissant dans les deux sens, car les

angle un peu supérieur à 1 6°; en ce point, la brandi sente un point d'arrêt et vient couper le rayon v sous un angle de 45° {.fig* 8). Cet angle a d'ailleu

constamment en croissant avec p, depuis zérdjusqu

car

«2 /^vZT^i

tangV ~

d'où

Jlanp:V ia"{a'^— y/a*— pO

rio

Les valeurs négatives de p donnent une branche trique de la première par rapport à l'origine; enfin, prend des signes contraires pour 2(o, on obtien courbe symétrique de la première relativement à l'a laire.

Construisons maintenant la branche

ihi=^ -f- arc sin — - ;

pour p = o, (0= oc , et, comme l'équation (4) se ra

au signe inférieur de (i), lo va en décroissant quand p

croît et atteint son lûinimum

pourp = «; en ce point, la courbe coupe le rayon vecteur sous un angle de i35".

Prenant les valeurs négatives de p et celles de to, on obtient trois autres spirales symétriques par rapport au pôle ou à Taxe polaire de celle que nous venons de construire; ces spirales se raccordent tangentiellement aux branches précédemment obtenues, si on les fait tourner de 90°.

84. Etant donné le paraboloïde défini en coordonnées rectangulaires par Inéquation

on considère sur cette surface les courbes dont les tangentes font un angle constant donné y avec Vaxe Oz\

1° Trouver V équation différentielle des projections de ces courbes sur le plan xOy et montrer que l'intégration de cette équation se y amène à une quadrature;

2** Effectuer la quadrature et construire la projection dans le cas particulier ou m est égal à V unité.

(Paris, juillet 1879.)

On a les équations

dx dv dz s/dx'^ 4- dy'^

cosa cos3 cosy /cos2a-^ cos2p

mx dx -\- y dy __ \J dx'^ -h dy"^ ^ acosY sinY '

128 PUEMIÈRK PARTIE. — CHAPITRE Vil.

on en lire

(2) y= xàzacoly- ^-- •

Cette équation étant. linéaire en ^ et ^ s'intègre en la diffère ntiant; on a

dx , acotY

- mx zz ' = o,

d'où

le problème est ramené à une quadrature elliptique. Les équations (2) et (4) déterminent les courbes cherchées. La quadrature peut s'effectuer dans les cas suivants : i<* 7W = o : le paraboloïde se réduit au cylindre parabolique JK^= 2a>3; on a

a; = G zi= acoty I — -^

2° m = 1 : le paraboloïde est de révolution.

G±acotY(-H- arc tang/? j .

Si l'on introduit l'angle a que fait avec Ox la tangente à la courbe projetée, on a

( 37= G sinazt a cotY(cosa -+■ a sina), (5) <

( Y =^ — Gcosazh acotY(sina — acosa).

Ces courbes s'obtiennent en portant sur la normale à la courbe C = o une longueur constante C; or cette dernière se compose de deux développantes du cercle de

rayoD acoty. Toutes ces courbes sont donc des développantes du même cercle ne différant que par leur origine. On arrive plus rapidement à ce résultat en remontant à l'équation (i); elle devient, en coordonnées polaires,

pdp =dz a cot Y ds =dza cot f /<ip* -+■ p* </to* ,

et enfin

ap cotY

, v/p* — a^cot^Y acoiy

(0 — a>o = ± —^ =F arc cos •- y

a cot Y p

équation qui représente toutes les développantes du cercle de rayon a cot y.

îo. La tangenteMT^ menée d^un point quelconque M d^ une surface à une sphère donnée de rayon a, est dans

un rapport constant r- avec la moyenne proportionnelle

entre la distance OP du centre O de cette sphère au plan tangent à la surface au point M et la longueur MN de la normale à la surface en ce point, cette normale étant terminée par sa trace N sur un plan diamétral fixe de la sphère. On demande :

\^ De trouver V équation générale de la surface;

2** De trouver V équation de la surface : i° lorsque

le rayon a de la sphère est nul; 2° lorsque le rapport ^

est égal à V unité.

(Marseille, juillet 1880.)

Prenant pour origine le centre O de la sphère et le plan diamétral fixe pour plan des xy^ on a

MT^ = a?' 4-72 -h ^2 . <3j2^ ViLUÉ. — Compositions, 9

l3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TU.

d'où réqualion aux dérivées partielles

que Ton intègre en posant

dx dy dz

^'^' xz ~~ 'yz~ ^2HhX«(ar2-h7«-h^*— a*)'

la première donne

7 = Car.

Soient

la seconde peut s'écrire

du dv

u Â:(i -+■ G«) a + (1 -+- k)v — ka^

d'où l'équation linéaire

dv i-\-k kà^ j. ^..

du u u ^ ^

En l'intégrant, on arrive à

l->rk'

ce qui donne, pour l'équation générale des surfaces consi dérées.

On y arrive plus vite en mettant les équations (2) sou la forme immédiatement intégrable

, , . . dx dy X dx -\-y dy -hz dz

(2 bis) — = -^ = ^ ^

{k-^i)(^x^-hy^-+-z^'-j^^

1° a=o. L'équation (3) devient

QUESTIONS DIVERSES. l3l

OU, en coordonnées sphériques,

p2= (p sin6cosa>)'^i-»-^*^ ?i(t*>)»

sin ''^ô

Les sections de l'une quelconque de ces surfaces par des plans passant par Oz sont des courbes semblables; il en est de même des sections de toutes les surfaces par Fun de ces plans.

2® -r- = 1, On a deux séries de surfaces, suivant que

Ton prend k = dzi; les premières ne présentent aucune particularité^ pour les secondes, la formule (3) est illusoire ; mais l'équation en m et ç' devient

au u

V = Cl -h a* log M — (i-i- G2 ) a et l'équation des surfaces cherchées est

(5) x^-^y^-hz^= a^logx^-^^l^

ce que les équations (2 bis) donnent de suite.

3° Si l'on fait à la fois k = — i et a = o, l'équation (5) devient

ce sont des surfaces engendrées par des cercles dont le centre est en O, et le plan passe par Oz, leur rayon étant une fonction arbitraire de l'azimut co; elles comprennent les sphères ayant Torigine pour centre.

86. On donne un cylindre parabolique dont V équation en coordonnées rectangulaires est x^ — ^ = o ; trouver sur ce cylindre une courbe G, telle que T étant

iSa PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VU.

la trace sur le plan des xy de la tangente en un point

quelconque M, A et B étant les intersections du plan

osculateur avec O^, Oy, le point T soit situé au milieu

de AB. On demande la projection de la courbe sur le

plan des xy.

(Besançon, juillet i883.)

Le plan osculateur d'une courbe a pour équation

(X — a:) {dy d^z — dz dy)

-\- {Y —y){dzd^x — dxd'^z) -h (Z — z){dxd^y — dyd^x) = o]

si l'on prend x comme variable indépendante, on a, pour

le point A,

__ z dx d^y — y dx d^ z

^""^"^ dyd^z — dzd^y '

d'ailleurs, pour le point T,

V dx

la condition X| = 2X3 de l'énoncé donne donc l'équation

, ^ dx z dx d^y — y dx d^ z

^ ^ dz dy d'^z — dz d^y

De l'équation de la surface on déduit

dx IX dx =^ dzj X — 2-2-7^=0, d^z=^7.dx^,

CLZ

et, par suite^ l'équation (i) devient

( 2 ) o = zdx d^y — y dx d^z =^ dx^ ( x^ -~~ — 2^ | ,

dont l'intégrale

est l'équation de la projection des courbes cherchées sur le plan des xy] ces courbes sont asymptotiques à la génératrice Oy du cylindre, sauf celles pour lesquelles C| = 0.

QUESTIONS DIVERSES. l33

87. On donne une surface du second degré et une tangente MT en un point M de cette surface. On mène un plan passant par MT. On construit dans ce plan le centre du cercle osculateur de la section en M, puis k centre 0' du cercle osculateur de la développée de la section enO.

Lieu des points O' lorsque le plan tourne autour de MT.

(Glermont, juillet i883.)

Soient M l'origine des coordonnées et MT Taxe des x; nous prendrons pour axe des z la normale à la surface en M. Considérons un plan sécant passant par MT

7 = ^tanga;

d'après le théorème de Meunier, le rayon de courbure de

la section est

Pa= Pocosa :

le lieu des points O est donc le cercle

décrit sur le rayon de courbure po de la section normale comme diamètre, et le lieu des points O' est, quelle que

soit la surface donnée, sur le cylindre circulaire représenté par cette équation; la coordonnée x du point O' est d ailleurs égale au rayon de courbure r de la développée.

Or on a, e étant l'angle de contingence de la section plane de rayon de courbure p,

£ " ds '

il reste donc à chercher la valeur de ~ pour l'origine des coordonnées.

l34 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.

De réquadon

rfY«\«

dx^ I

dans laquelle la coordonnée Y est comptée sur la norm à la section plane, on tire

^ dx\dx^) y'^ dx^l dx^y'^ dx^) ,

dp = ^ ^ — T^Yy ^'

\dxi)

et, comme on a ( —r- ] = o, on en conclut

\dx/n

dx^ X = r = p

\dx^)

Appliquons à la surface proposée, dont réquation de la forme

Ax^-\- \y^-h A"z^-{-2Byz-\-2B'xz -h2B"xy-h2Cz =(

d'où, pour l'équation de la section plane,

Aa72-i-(A'sin2a-i- 2B sinacosa 4- A"cos2a)Y*

2(B'cosa-f- B"sina)a7Y + aCYcosa = o;

en dérivant trois fois cette dernière, on arrive à

dX\ (—] - ^

dx /u~~ ' \dx^/iii~ Gcosa'

{—\ - 3A(B^cosa-+-B^^sina) \dx^ /m" G2cos2a '

ce qui conduit finalement à l'équation

B'cosa + B''sina 3(B'z^-hByz) x = 3pocosct = 4.

La courbe lieu des points O' est donc l'ellipse intersection du plan

et du cylindre circulaire

A(y^-hz^)-h Cz = o,

dont les équations sont indépendantes des coefficients A\ A'' et B de la surface.

88. Arête de rebroussement de la surface enveloppe d'une sphère qui se meut en conservant un contact du second ordre avec une courbe donnée.

(Grenoble, juillet i883.)

Le lieu des centres de cette sphère est sur la surface polaire P de la courbe proposée. De plus, si l'on développe cette surface, ce lieu aura pour transformée un cercle décrit avec le rayon R de la sphère et ayant pour centre le point de rencontre de toutes les droites transformées des développées de la courbe proposée; la courbe C|, lieu des centres de la sphère, est donc ainsi déterminée.

L'enveloppe de la sphère est une surface canal dont les

caractéristiques sont des cercles de rayon R situés dans des

plans normaux à la courbe C\ et dont les centres sont sur

celte courbe. L'arête de rebroussement de cette enveloppe,

qui est le lieu des intersections de ses caractéristiques,

est donc sur la surface polaire P| de la courbe G| ; de plus,

si Ton développe P|, la transformée du lieu cherché est

une circonférence de rayon R et ayant pour centre le

point de rencontre des développées de G|, ce qui définit

complètement cette courbe.

89. Former V équation aux dérivées partielles des surfaces jouissant de la propriété que les tangentes aux deux lignes de courbure, en un quelconque de leurs

l36 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.

points, se projettent sur le plan des xy suivant deux droites dont les bissectrices soient parallèles àOxet Oy, Déterminer celles de ces surfaces dont V équation est de la forme

et intégrer V équation différentielle de leurs lignes de courbure.

On suppose les axes rectangulaires,

(Paris, juillet 1884, a* question.)

L'équation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy est

dx -\- p{p dx -\- g dy) dy -^ q{p dx -^ g dy) ^ r dx -\- s dy s dx -^ t dy '

exprimant qu'elle a ses racines en -~ égales et de signes

contraires, on a Téquation aux dérivées partielles du second ordre

(2) r(i + grs) — ^(i -h jd2) = o.

Les équations des ombilics

H-jd2 i-\-q^ pq

se réduisant à une seule, sauf dans le cas de s identiquement nul, ces surfaces ont en général une infinité d'ombilics, dont le lieu est une ligne tracée sur la surface.

Dans le cas particulier de l'énoncé, l'équation (2) devient

(3) cp-(^) cp-(r) , g2)

d'où

(4) a{z -\- c)— — log[cos(aa:-+- 6) cos(aj 4- 6)];

ces surfaces n'ont pas d'ombilic. Suivant que a est positif ou négatif, elles sont semblables à Tune ou l'autre des deux

surfaces

(5) e=p2 = cosa? cos^,

dont nous avons trouvé (n** 57) les lignes de courbure.