Étude de la fonction u = ^i/ 7 è

P, Y e^ /? étant des nombres entiers.

Les points critiques de la fonction sont ^=a, z:=b^ z = c. Le point a est un pôle, car, pour z = a^ m = 00 et son inverse reste finie et continue; il n'y a pas permutation de valeurs de la fonction quand la variable tourne autour de a. Il n'en est pas de même pour les branchements 6 et c {Jig* 9). Supposons que z décrive un cercle

•tZy

infiniment petit autour de bel soit w^ la valeur de m quand z part d'un point B de cercle, cherchons quelle sera sa valeur quand z reviendra en B après avoir tourné une fois

VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. iSg

dans le sens direct autour de b. Les racines jp»* ™«» de l'unité sont

1KTZ . . ^KTZ ——-

cos h { sin = e A'

k étant successivement égal à o, i , 2, . . . , /? — i ; on aura donc, pour l'expression de Tune quelconque des valeurs

de u, quand z sera en B, Uk=^ Uoe ^ . Gela étant, posons

quand on tourne autour de 6, les facteurs 7 — et

- n, ne changent pas ; nous n'aurons donc à nous oc-

cuper que d u facteur

^(z — b)? = (pe^'^y = ^p'^e P , qui, après un tour complet autour de 6, deviendra

c'est-à-dire que Uk est devenu w^+p; les diverses valeurs de u se permutent circulairement.

On ferait sur le point z = c une discussion entièrement analogue .

Supposons que l'on parte d'un point quelconque M du plan et que l'on parcoure un contour fermé à l'intérieur duquel se trouvent les deux points b et c] la fonction reprend en M la même valeur que si l'on parcourt les deux contours élémentaires issus de M et entourant a et b, puisqu'il n'y a aucun branchement entre l'ensemble de ces contours élémentaires et le cycle considéré; après un parcours complet de ce cycle, la détermination Uk est donc devenue u/(^^y.

l4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YIII.