Résidus de quelques fonctions
1° u= ; .y pour le pôle z = a. Posant
I — cos(^ — a) ^ ^
:; = a + A, la fonction devient
i-cosA = A' ^* , ~ " Âï^^'^^'-^*'^ -*■•••>•
le résidu cherché est donc égal à 4 î il est d'ailleurs le même pour tous les pôles z = a-\- ikiz de la fonction.
2° u = -r-f ' Cette fonction a pour pôles les points
^ = Atti; or on a
sm^{kTz -\- h) sin^A
La parenthèse ne renfermant que des puissances impaires de h, son carré n'a que des puissances paires, ce qui démontre que les résidus sont nuls.
L'intégrale / -r-^ est donc indépendante du chemin
parcouru entre les deux points ^0 et <S|.
3° w = 7 ; 7-T 77' Soit ^ = a un pôle de la
[a-i-(a^ -f- 6) tang^J2 r
fonction w, c'est-à-dire une racine de l'équation
f(z) = <2 4- (az -\- 6) tang^s = o;
on a
d'où
TARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l4l
fi OL ^
Pour calculer le résidu — {.,,, \ t formons
/'(z) = {az -\-b){i->r tang^z) -f- a tangz, f\z) = i[a-\- {az -h b) tang^] (i -h tang*z),
d'où /"(a) = o; les résidus sont nuls. L'intégrale
dz
fj, [a-i- (az -h 6) tang^Jî
est donc uniforme. On aurait d'ailleurs pu le voir autrement, en remarquant que
fudz = - ^
a a -+-(az -h 6)tangz 92. Déterminer l'intégrale définie
f Q.o\.\\x — a — h y/ — i ) dx.
(Ecole Normale, juillet 1872.) Posant
iz — x — a — b s/ — I , -Zo = J -Si = ir H- Zo,
l'intégrale considérée I devient
\\ cotz û?z = 2(log sin^i — logsinzo).
Étudions la fonction
u = log sinz;
si Ion fait
sinz = p(costo -h isino)),
on aura, pour l'une quelconque des branches de la fonction w,
u = logp -h i(^ + 2^:11);
or, en suivant la parallèle à O^ qui va de ^0 à xî^, comme
l42 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YIII.
le comporte l'énoncé delà question, on ne passe par aucun point pour lequel la fonction u cesse d'être continue : donc
Mj— Mo= logpi — logpo-H 1(^1— wo);
d'ailleurs, en allant de ^o ^ ^\ suivant le chemin rectiligne considéré, on a p^ = po et (Of = (0^4- tu, puisque les deux points sin-Go et sin;^^ sont symétriques par rapport à l'origine. On en conclut, pour la valeur de l'intégrale cherchée,
93. Expliquer comment il faut mener les différentes lignes que doit suivre la variable z pour que Vintégrale
"2 dz
obtienne ses différentes valeurs»
(Nancy, juillet i883.)
La fonction monodrome à intégrer a une infinité de pôles donnés par la formule sin5 = 0^ z = /iir, et les résidus correspondants sont ( — 1)".
L'intégrale générale est logtang-; posons Z = tang-
et imaginons que^ décrive au-dessus de Ox, par exemple, une courbe ne coupant pas cet axe et dont les extrémités
seront Zç^ = ? Z\^=^-\ — ; le point Z décrira une courbe
correspondante dont les extrémités seront Zo=;= — i, Z^=+i et qui ne coupera pas O^, tang;^ n'étant réel que pour z réel ; posant donc
Z = p[cos(cp H- ikii) -\- 1 sin(cp -+- aArir)],
on aura pQ = p^ = i et cp variera de tt; à zéro.
TARIÀBLES IMAGINAIRES. — PONCTIONS ELLIPTIQUES. l43
Of prenons une quelconque des branches de logZ,
u = logp H- t(? -*" a^o^^), on aura
l'intégrale cherchée a donc pour valeur u^ — iio= — i^«
Cela étant établi, si Ton considère une ligne quelconque d'intégration ayant les mêmes extrémités que la précédente, on pourra la fermer à Taide de la partie deOx comprise entre H — et 5 a Texception de la portion avoi-
sinantle pôle O, à laquelle on substituera un demi-cercle décrit de O comme centre, au-dessus de O^, et avec un rayon infiniment petit; l'intégrale prise le long de cette dernière ligne étant îtt, le théorème du résidu intégral donnera la valeur de l'intégrale cherchée. On reconnaît ainsi qu'elle rentre dans la formule générale (2m + 1)17:,
