Déterminer les intégrales définies

f sinx^ dXf I cosx^dx.

Considérons un contour fermé comprenant Taxe des ^ (A) depuis l'origine jusqu'à la distance R, un arc de

cercle (B) de rayon R avec un angle au centre égal à -?

enfin le rayon (C) partant de la seconde extrémité de l'arc B; si l'on intègre la fonction e~^', qui est continue et monodrome dans toute l'étendue du plan, on aura, quel que soit R,

BOUS calculerons ces diverses intégrales en faisant R = 00 .

l44 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TIII.

On a d'abord

e-^* dx =

Pour obtenir / , il faut poser z = Re'"^,

r = r*e-R»{co8je4-i8in2e)Rg/6j^6; soit (f un angle tel que e-ï^'co«*?= -; nous décomposerons

Ji en deux autres / + / > dont nous chercherons les modules. On a

mod e'O e-^ R' sin 26 = mod e'^ = t ;

le module d'un élément d'intésrrale est donc -— «dî,

O gR«C08j6 '

quantité inférieure à -^ pour tous les éléments de la première intégrale; or — est un infiniment petit du second

ordre; donc le module de / est un infiniment petit du

premier ordre, c'est-à-dire que cette intégrale est nulle pour R == oc . La valeur maximum du module des éléments delà seconde intégrale estRrfO : donc

or l'angle cp est donné par l'équation

9 = sin ( 2 c» ) = — ^^ — 4

et, comme l'angle - — 2(p est très voisin de zéro, on peut

VARIABLES IMAGmAIRSS. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. 1^5

écrire d'où

quantité qui tend vers zéro quand R croît indéfiniment. : Donc, en résumé, / = o.

Pour obtenir la troisième partie, il faut poser

alors

donc

cos— -H isin-r 1; / e-^*dz = I e-^^* ( cos j -h i sin - j cte ;

•A Je

I— = / (coso?* — isma?*) — =-dx:

d'où Ton déduit, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires^

00 /»eo

f cosa?* û?a7 — / sina?* û?a7 = o «/b

et enfin

y/iu '0 */o î^V^a

Jf sina?* dx = j coso?* ûte =

9S. Calculer Vintégrale

J. A'ar'n'-t-B'ar'»'-»^... J, ^(ar)

Vaut. — Compositions. lo

l46 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YIII.

La fonction ^^)—\ étant supposée irréductible, on voit

tout d'abord qu'il est nécessaire, pour que l'intégrale soit finie et déterminée :

1** Que ç(^) n'ait aucune racine réelle;

2" Que son degré surpasse de deux unités au moins celui de/(^).

Supposons, en effet, que (f(x) = o admette la racine réelle x = a, avec le degré k de multiplicité, on aurait

-+-«/•/ „\ /»-4-ao

r f(^d:r= r —JM dx

Soient a et a' deux valeurs de x comprenant entre elles le point a et assez voisines l'une de l'autre pour que j^—r

ne diffère pas sensiblement de ti—\\ considérons la por-

tion de l'intégrale comprise entre a et a', on aura, par définition,

f = lim / -f- lim / ,

lorsque £ et t' tendent vers zéro; cette intégrale est infinie ou indéterminée, car les deux termes qui la composent tendent tous deux vers oc, indépendamment l'un de l'autre. En effet, considérons, par exemple, le terme

il — Z

/(.r) dx

a {x-af^{xy dx

le facteur -r ne changeant pas de signe dans le cours